SPL Temel Finans Matematiği ve Değerleme Yöntemleri Paranın Zaman Değeri ve Faiz Hesaplamaları Konu Anlatımı

Paranın zaman değeri finans matematiğinin başlangıç noktasıdır: aynı nominal tutarın bugün elde edilmesi ile gelecekte elde edilmesi ekonomik olarak aynı şey değildir.

Geliri giderinden fazla olan bir ekonomik birim tasarruf ederken bugünkü tüketiminden vazgeçer; bu vazgeçişi kabul etmesinin nedeni gelecekte daha fazla tüketebilme beklentisidir.

Geliri giderinden az olan birim ise bugünkü tüketimini artırmak için borçlanır ve gelecekte daha az tüketmeyi kabul eder.

Bu karşılıklı değişimin bedeli ya da ödülü paranın zaman değeridir.

Eğer fiyatlar genel düzeyi hiç değişmese ve geleceğe ilişkin hiçbir belirsizlik bulunmasa, bugünkü parasal büyüklük ile gelecekteki parasal büyüklük arasındaki fark yalnızca paranın saf zaman değerinden oluşurdu.

Gerçek dünyada ise beklenen getiri oranı daha geniştir: fonun kullanımından vazgeçilen süreyi, paranın satın alma gücündeki değişimini ve gelecekteki ödemenin belirsizliğini birlikte telafi eder.

Faiz, paranın zaman değerini hesaplamada kullanılan en temel araçtır.

Borç veren açısından faiz, fonların kullanımından belirli bir süre vazgeçmenin karşılığında elde edilen gelirdir.

Borç alan açısından ise aynı faiz, fon ihtiyacını bugün karşılamanın maliyetidir.

Yıllık faiz gelirinin borç verilen anaparaya oranı ya da yıllık faiz giderinin borç alınan tutara oranı faiz oranını verir.

Bu ayrım önemlidir, çünkü faiz oranı yalnızca bir yüzde ifadesi değildir; bugünkü değer ile gelecekteki değer arasında köprü kuran dönüşüm oranıdır.

Örneğin 100 birimlik bir borca yıllık yüzde 60 faiz uygulanıyorsa, yıl sonunda ödenecek faiz 60 birimdir.

Burada faiz gideri borçlanan tarafın maliyeti, faiz geliri ise borç veren tarafın getirisidir.

Faiz hesaplamalarında ilk temel ayrım basit faiz ile bileşik faiz arasındadır.

Basit faizde faiz yalnızca başlangıç anaparası üzerinden hesaplanır.

Bugünkü değer BD, faiz oranı r ve dönem sayısı t ise gelecekteki değer GD = BD x [1 + (r x t)] biçiminde düşünülür.

Bu yapı doğrusal büyüme yaratır; her dönem kazanılan faiz tutarı aynıdır, çünkü hesaplama tabanı değişmez.

100 TL yüzde 10 basit faizle değerlendirildiğinde birinci yıl sonunda 110 TL, ikinci yıl sonunda 120 TL, beşinci yıl sonunda 150 TL olur.

Artış düzenlidir, fakat önceki dönemlerde kazanılan faizler yeni faiz kazandırmaz.

Bileşik faizde mekanizma farklıdır.

Her dönemin faizi anaparaya eklenir ve sonraki dönemin faizi bu büyümüş tutar üzerinden hesaplanır.

Bu nedenle bileşik faiz, faiz üzerinden faiz kazanılması sonucunu doğurur.

Formül GD = BD x (1 + r)^t biçimindedir.

100 TL yüzde 10 yıllık bileşik faizle birinci yıl sonunda 110 TL olur; ikinci yılın faizi artık 100 TL üzerinden değil 110 TL üzerinden hesaplandığı için dönem sonu tutarı 121 TL'ye çıkar.

Aynı mantık sonraki dönemlerde devam eder ve büyüme üstel hale gelir.

Kısa vadede basit ve bileşik faiz arasındaki fark küçük görünebilir; 10.000 TL'nin yüzde 8 faizle iki yıl değerlendirilmesinde basit faiz sonucu 11.600 TL, bileşik faiz sonucu 11.664 TL'dir.

Ancak vade uzadıkça fark hızla büyür.

1.000 TL'nin 50 yıl yüzde 10 bileşik faizle değerlendirilmesi 117.390,9 TL'lik bir sonuca ulaşırken, bu tutarın çok büyük bölümü önceki yıllarda kazanılan faizlerin yeniden faiz kazanmasından kaynaklanır.

Nominal faiz oranı ile efektif yıllık faiz oranı arasındaki ayrım bileşikleşme sıklığı nedeniyle ortaya çıkar.

Finansal kurumlar faizi yıllık oranla ifade etse bile, hesaplamayı yıl içinde birden fazla kez yapabilir.

Yarıyıllık bileşikleşmede yıllık oran ikiye, çeyreklik bileşikleşmede dörde, aylık bileşikleşmede on ikiye bölünerek her alt döneme uygulanır.

Yıllık yüzde 20 nominal oran altı ayda bir bileşikleşiyorsa, her altı ay için yüzde 10 uygulanır.

1.000 TL bir yıl boyunca yüzde 20 basit yıllık faizle 1.200 TL olurken, altı ayda bir yüzde 10 bileşikleştiğinde 1.210 TL olur.

Aradaki 10 TL, yıl içindeki ilk altı ayda kazanılan faizin ikinci altı ayda tekrar faiz kazanmasından doğar.

Bu yüzden farklı teklifleri karşılaştırırken yalnızca açıklanan yıllık oranı görmek yetmez; aynı yıllık sonuca denk gelen efektif oran hesaplanmalıdır.

Yıllık nominal oran r, yıldaki bileşikleşme sayısı m ise efektif yıllık oran [1 + (r / m)]^m - 1 olarak ifade edilir.

Yüzde 8 nominal oran çeyreklik bileşikleştiğinde büyüme (1 + 0,08 / 4)^4 olur ve efektif yıllık oran yaklaşık yüzde 8,24'e çıkar.

Bileşikleşme sıklığı teorik olarak daha da artırılabilir.

Günlük bileşikleşme pratikte görülebilir; saatlik, dakikalık veya saniyelik bileşikleşme ise hesaplama mantığını sürekli bileşik faize yaklaştırır.

Dönem sayısı sonsuza, dönem uzunluğu sıfıra yaklaştığında sürekli bileşik faiz kavramı elde edilir.

Bu durumda efektif yıllık oran e^r - 1 biçiminde hesaplanır; e yaklaşık 2,71828 değerindeki matematiksel sabittir.

Yüzde 10 sürekli bileşik faiz oranı e^0,10 - 1 sonucunu verir ve efektif oran yaklaşık yüzde 10,517 olur.

Sürekli bileşik faiz her zaman piyasada bire bir karşılığı olan bir ürün olarak düşünülmek zorunda değildir; bazı değerleme ve opsiyon fiyatlama hesaplarında matematiksel türevlerin alınabilmesi için faiz oranlarının sürekli bileşik biçimde ifade edilmesi gerekir.

Bu nedenle aynı ekonomik getiriyi farklı faiz gösterimleriyle ifade edebilmek önemlidir.

Örneğin yıllık yüzde 20 nominal ve yarıyıllık bileşik oran yüzde 21 efektif yıllık getiriye denktir; bu efektif oranla aynı sonucu veren sürekli bileşik oran ln(1,21), yani yaklaşık yüzde 19,062'dir.

Paranın zaman değeri hesapları iki ana yönde yapılır: bugünden geleceğe taşımak ve gelecekten bugüne indirmek.

Gelecekteki değer, bugünkü nakdin belirli bir faiz oranı üzerinden dönem sonunda ulaşacağı tutardır.

Bugünkü değer ise gelecekteki bir nakit akışının iskonto oranı kullanılarak bugüne indirgenmiş karşılığıdır.

İskonto oranı burada faiz oranının değerleme yönündeki adıdır; gelecekteki nakdin bugün ne kadar ettiğini bulmak için kullanılır.

Tek bir nakit akışı için gelecekteki değer NA0 x (1 + r)^t, bugünkü değer ise NAt / (1 + r)^t mantığıyla hesaplanır.

35.000 TL'nin 10 yıl yüzde 20 bileşik faizle değerlendirilmesi 216.711 TL'ye ulaşır; buna karşılık 4 ay sonra gereken 1.500 TL'nin aylık yüzde 4 iskonto oranıyla bugünkü karşılığı yaklaşık 1.282,2 TL'dir.

İlk işlem birikimin gelecekteki büyüklüğünü, ikinci işlem gelecekteki ihtiyacın bugünkü finansman tutarını gösterir.

Nakit akışları tek defalık olmayabilir.

Birden fazla döneme yayılan nakit akışlarında önce serinin yapısına bakılır.

Tutarlar dönemden döneme farklıysa her nakit akışı kendi zamanına göre ayrı ayrı bileşiklendirilir veya iskonto edilir, sonra sonuçlar toplanır.

Örneğin gelecekteki değer aranıyorsa erken dönemdeki nakit akışı daha uzun süre faiz kazanacağı için daha büyük bir gelecek değer faktörüyle çarpılır; bugünkü değer aranıyorsa uzak dönemdeki nakit akışı daha uzun süre iskonto edileceği için bugünkü karşılığı daha düşük olur.

Bu yöntem mekanik olarak basittir ama her bir dönem ayrı ele alınmalıdır.

Dönemsel aralıkları eşit, tutarları aynı ve yönü aynı olan nakit akışlarına anüite denir.

Anüite, eşit taksitli kredi, düzenli tasarruf veya her dönem aynı tutarda gelir gibi durumları tek bir bütün olarak değerlemeyi sağlar.

Anüitenin gelecekteki değerinde her eşit ödeme kendi kalan süresi boyunca faiz kazanır ve toplam değer A x [(1 + r)^n - 1] / r ile bulunur.

Anüitenin bugünkü değerinde ise her eşit ödeme bugüne iskonto edilir ve toplam değer A x [1 - 1 / (1 + r)^n] / r mantığıyla hesaplanır.

Ödemeler dönem sonunda değil dönem başında yapılıyorsa bugünkü değer sonucu bir dönem daha erken gerçekleştiği için (1 + r) ile çarpılarak revize edilir.

Kredi taksitlerinde kalan borcun hesaplanması da aynı mantığın devamıdır: belirli bir tarihten sonra kalan ödemelerin bugünkü değeri, o tarihteki bakiye borcu verir.

Sonsuz süreli ve her dönem sabit tutarlı nakit akışları perpetüite olarak ele alınır.