SPL Temel Finans Matematiği ve Değerleme Yöntemleri Paranın Zaman Değeri ve Faiz Hesaplamaları Konu Anlatımı

Paranın zaman değeri, finans matematiğinin başlangıç noktasıdır.

Bir ekonomik birim bugünkü gelirinin tamamını tüketmeyip tasarruf ettiğinde, aslında cari tüketiminden vazgeçer ve gelecekte daha yüksek tüketim imkanını bekler.

Fon açığı olan kişi veya kurum ise bugünkü tüketim ya da yatırım ihtiyacını karşılamak için gelecekte daha az tüketime razı olur.

Bu değiş tokuşun bedeli, paranın zaman değeridir.

Fiyatların değişmediği ve belirsizliğin olmadığı teorik bir dünyada bile bugünkü para ile gelecekteki para aynı değildir; çünkü fonun kullanımı bir süre ertelenmektedir.

Gerçek dünyada buna enflasyon ve gelecekteki ödeme belirsizliği de eklenir.

Bu yüzden yatırımcının talep ettiği gerekli getiri oranı yalnız zamanın değil, satın alma gücü değişiminin ve riskin de karşılığıdır.

Paranın zaman değeri çoğu zaman faiz üzerinden anlatılır.

Faiz, borç veren açısından gelir, borç alan açısından giderdir.

Yıllık faiz geliri veya giderinin ilgili anapara tutarına oranı faiz oranıdır.

Ancak kaynak metnin vurguladığı gibi paranın zaman değeri sadece faizle sınırlı değildir; faiz, kavramı ölçmeyi kolaylaştıran temel araçtır.

Basit faiz ve bileşik faiz ayrımı burada belirleyicidir.

Basit faizde her dönem yalnız başlangıç anaparası üzerinden faiz hesaplanır.

Bu nedenle büyüme doğrusal ilerler; anapara aynı kaldığı için her yıl kazanılan faiz tutarı değişmez.

Basit faizle gelecekteki değer, bugünkü değer ile bir artı faiz oranı çarpı dönem sayısı toplamının çarpılmasıyla bulunur.

Örneğin aynı anapara aynı faiz oranıyla ne kadar uzun kalırsa toplam faiz dönem sayısıyla orantılı artar.

Bileşik faiz ise önceki dönemlerde kazanılan faizin de yeni dönemin anaparasına eklenmesini ifade eder.

Birinci dönem sonunda oluşan anapara artı faiz toplamı, ikinci dönemde faiz hesaplamasının yeni temeli olur.

Böylece sadece başlangıç anaparası değil, kazanılmış faizler de faiz üretir.

Bileşik faizde gelecekteki değer, bugünkü değerin bir artı dönemsel faiz oranının dönem sayısı kadar kuvvetiyle çarpılmasıyla hesaplanır.

Kısa vadede basit ve bileşik faiz arasındaki fark küçük görünebilir; süre uzadığında bileşik etkinin üstel niteliği farkı büyütür.

Bu nedenle uzun vadeli mevduat, borçlanma, tahvil değerleme ve türev fiyatlama mantığında bileşik faiz varsayımının doğru anlaşılması gerekir.

Bileşikleme sıklığı, nominal faiz oranının gerçek yıllık etkisini değiştirir.

Banka yıllık oranı ilan etse bile faiz yılda iki, dört, on iki veya daha fazla kez işletiliyorsa yatırımcının yıl sonunda elde ettiği oran ilan edilen basit oranla aynı olmayabilir.

Efektif yıllık faiz oranı bu farkı düzeltir.

Yıllık nominal oran r, yıl içinde m kez bileşikleniyorsa dönemsel oran r bölü m olur ve yıl sonu büyüme bir artı r bölü m ifadesinin m'inci kuvvetiyle ölçülür.

Buradan bir çıkarıldığında efektif yıllık oran elde edilir.

Bu oran, farklı bileşikleme sıklığına sahip finansal araçları karşılaştırmak için gereklidir.

Aynı nominal oran, daha sık bileşikleme ile daha yüksek efektif getiri veya maliyet yaratır.

Sürekli bileşik faiz, bileşikleme dönem sayısının sınırsız arttığı teorik sınırı ifade eder.

Gerçek piyasada her saniye faiz işleyen ürünler yaygın olmasa da sürekli bileşik faiz özellikle türev araç fiyatlamasında ve analitik modellerde kullanılır.

Sürekli bileşiklemede efektif yıllık oran e üzeri r eksi bir şeklinde düşünülür.

Ters yönde, belirli bir efektif yıllık oranı sürekli bileşik orana çevirmek için doğal logaritma kullanılır.

Bu dönüşümün önemi, farklı faiz ifade biçimlerinin aynı ekonomik sonucu temsil edip etmediğini karşılaştırabilmektir.

Paranın zaman değeri hesaplamaları iki temel yöne ayrılır: gelecekteki değer ve bugünkü değer.

Gelecekteki değer, bugünkü bir nakit akışının belirli bir faiz oranıyla gelecekte hangi tutara ulaşacağını gösterir.

Bugünkü değer ise gelecekte elde edilecek nakit akışının bugünkü karşılığını iskonto oranı ile bulur.

İskonto oranı, gelecekteki tutarı bugüne indirgemede kullanılan faiz oranıdır.

Tek bir nakit akışı için gelecek değer bileşik faizle büyütülür; bugünkü değer ise gelecek tutarın aynı bileşik faiz faktörüne bölünmesiyle hesaplanır.

Bu mantık, bir yatırımın bugün kaç lira ettiğini ya da bugün yatırılan tutarın hedeflenen gelecek değere yetip yetmeyeceğini test eder.

Nakit akışları tek seferlik olmayabilir.

Birden fazla dönemde farklı tutarlarda nakit akışı varsa, her nakit akışı kendi zamanına göre bugüne indirgenir veya gelecek tarihe taşınır; sonra toplanır.

Nakit akışları birbirine eşitse anüite kavramı kullanılır.

Anüite, belirli sayıda dönem boyunca eşit tutarlı ödeme veya tahsilat serisidir.

Anüitenin gelecekteki değeri, her ödemenin dönem sonuna kadar ayrı ayrı büyütülmesinin kısa formülle ifade edilmiş halidir.

Anüitenin bugünkü değeri ise her ödemenin bugüne iskonto edilmesiyle bulunur.

Ödemeler dönem sonunda yapılıyorsa normal anüite, dönem başında yapılıyorsa dönem başı ödemeli anüite söz konusudur; dönem başı ödeme, bir dönem daha fazla faiz etkisi taşıdığı için formüle bir artı r çarpanı eklenir.

Kredi taksitleri, kira ödemeleri, düzenli tasarruflar ve kupon benzeri akışlar bu mantıkla değerlendirilir.

Kredi borcunda kalan bakiye hesaplanırken de anüite formülü ters yönde kullanılır: belirli sayıda ödeme yapıldıktan sonra vade sonuna kadar kalan eşit taksitlerin bugünkü değeri kalan borcu verir.

Sürekli ödeme anlamına gelen perpetüite ise teorik olarak sonsuza kadar devam eden sabit nakit akışı serisidir.

Sabit perpetüitenin bugünkü değeri dönemsel ödeme tutarının iskonto oranına bölünmesiyle bulunur.

Nakit akışının her dönem sabit bir oranda büyüdüğü durumda büyüyen perpetüite kullanılır ve değer, gelecek ilk nakit akışının iskonto oranı ile büyüme oranı farkına bölünmesiyle hesaplanır.

Bu formülün anlamlı olması için iskonto oranının büyüme oranından büyük olması gerekir.

Böylece paranın zaman değeri konusu, basit faizden başlayıp bileşikleme, efektif oran, iskonto, anüite ve perpetüite aracılığıyla finansal varlık değerlemesinin ortak matematik dilini kurar.

Değerleme sorularında ilk karar, nakit akışının zaman yapısını doğru sınıflandırmaktır.