KPSS Geometri Konu Anlatımı

Geometrik kavramlarda açı, başlangıç noktaları ortak olan iki ışının oluşturduğu açıklıktır. Ortak başlangıç noktası açının köşesi, ışınlar açının kollarıdır. Açı üç harfle adlandırıldığında köşe harfi ortada yer alır; bu yüzden ABC ile CBA aynı köşeli açıyı gösterebilir. KPSS düzeyinde ölçüler derece cinsinden okunur. Dar açı 90 dereceden küçük, dik açı 90 derece, geniş açı 90 ile 180 derece arasında, doğru açı 180 derece, tam açı 360 derecedir. Köşesi ve bir kolu ortak olan açılar komşudur; ortak ışın iki eş parçaya ayırıyorsa açıortaydır. Tümler açılar 90, bütünler açılar 180 dereceye tamamlanır. Kesişen doğrularda ters açılar eşit, paralel doğruları kesen bir doğru üzerinde yöndeş, iç ters ve dış ters açılar eşit ilişki verir.

Üçgende açılar, önce üçgenin ne olduğunun doğru okunmasıyla başlar: doğrusal olmayan üç nokta ikişer ikişer birleştirilir; oluşan şeklin köşeleri, kenarları, iç açıları ve kenar uzantılarındaki dış açıları ayrı ayrı adlandırılır. İç açıların toplamı her zaman 180 derecedir. Bir üçgende seçilen dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir; üç dış açının toplamı da 360 derecedir. Açıortay bir iç ya da dış açıyı iki eş parçaya böler, kenarortay karşı kenarın orta noktasına gider, yükseklik karşı kenara dik iner. İkizkenar üçgende eş kenarları gören açılar eşittir; eşkenar üçgende üç iç açı da eşit kabul edilir. Bu konu, şeklin hangi çizgisinin hangi bilgiyi verdiğini ayırarak çözülür ve her sonuç toplamlarla denetlenir.

Dik üçgen, bir açısı 90 derece olan üçgendir. Üçgenin iç açıları toplamı 180 derece olduğu için dik açının dışındaki iki dar açının toplamı 90 derecedir. Dik açının karşısındaki kenar hipotenüstür ve dik üçgenin en uzun kenarıdır; bu yüzden Pisagor bağıntısında yalnız bırakılan kenar doğru seçilmelidir. Dik kenarlar x ve y, hipotenüs z ise x kare artı y kare eşittir z kare yazılır. İki kenar bilindiğinde üçüncü kenar bu bağıntıyla bulunur. 3-4-5, 5-12-13, 7-24-25, 8-15-17 gibi üçlüler Pisagor’un hazır sonuçlarıdır. İkizkenar dik üçgende hipotenüs dik kenarın kök 2 katıdır; 30-60-90 üçgeninde kısa dik kenar hipotenüsün yarısı, uzun dik kenar onun kök 3 katıdır. Sağlam çözüm, önce dik açıyı ve hipotenüsü görüp sonra uygun bağıntıyı kurmaktır.

Açıortay, bir açıyı ölçüleri eş iki parçaya ayıran doğru parçası ya da ışındır. Üçgende iç açıortay köşedeki iç açıyı böler ve karşı kenara ulaştığında bu kenarı komşu kenarlarla orantılı iki parçaya ayırır. Kaynakta oran okuma mantığı, açıortayın karşı kenara değdiği noktadan bir köşeye gidip açıortayın başladığı köşeye geri dönme biçiminde anlatılır: bir taraftaki parça o taraftaki komşu kenarla, diğer taraftaki parça da diğer komşu kenarla eşleştirilir. Açıortay üzerindeki bir noktadan açının kollarına indirilen dik uzaklıklar eşittir; bu bilgi uzunluk sorularında ayrı bir araçtır. Dış açıortayda da oran düşüncesi kullanılır, fakat uzatılmış doğru üzerindeki parçalar dikkatle okunur. En yaygın hata açıortayı kenarortay gibi görmektir: açıortay açıyı eşitler, genel üçgende tabanı eşit bölmez.

Kenarortay, üçgende bir kenarın orta noktasını karşı köşeye bağlayan doğru parçasıdır; bu yüzden ilk sonuç, ilgili kenarın iki eş parçaya ayrılmasıdır. Üç kenarortay tek noktada kesişir ve bu nokta ağırlık merkezidir. Ağırlık merkezi her kenarortayı köşe tarafındaki parça iki, kenar tarafındaki parça bir olacak biçimde böler. İki kenarın orta noktaları birleştirilirse orta taban oluşur; orta taban üçüncü kenara paraleldir ve onun yarısı kadardır. Kenarortaylar alan sorularında da kullanılır: üç kenarortay üçgeni altı eş alanlı parçaya ayırır, orta noktaların birleştirilmesiyle oluşan dört küçük üçgenin alanları eşittir. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün ayırdığı iki parçayla eşit uzunluktadır. Bu konu çözülürken çizginin köşeden mi, yoksa iki orta nokta arasından mı geçtiği ayırt edilmelidir; çünkü kullanılacak oran, paralellik ve alan sonucu buna göre değişir.

Özel üçgenler, açı veya kenar yapısı sayesinde uzunlukların hızlı bulunabildiği üçgenlerdir. Dik üçgende 3-4-5 ve 5-12-13 gibi Pisagor üçlüleri, 45-45-90 ve 30-60-90 oranları en temel örneklerdir. İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki açılar eşittir; tepe noktasından tabana indirilen doğru çoğu zaman tabanı ikiye böler, açıyı ikiye böler ve diklik oluşturur. Eşkenar üçgende tüm kenarlar eşit, tüm açılar 60 derecedir; yükseklik çizildiğinde iki tane 30-60-90 üçgeni oluşur. Özel üçgenleri kullanmak, formül ezberinden çok şekil içindeki işaretleri tanımaya dayanır. Soruda oranı fark etmek işlem süresini kısaltır, fakat hangi kenarın hangi açının karşısında olduğu dikkatle belirlenmelidir.

Üçgende Alan, KPSS geometri sorularında şeklin verilenlerini doğru ilişkiye bağlamayı gerektirir. Alan, seçilen taban ile o tabana ait dik yüksekliğin çarpımının yarısıdır; taban değişirse yükseklik de değişir. Geniş açılı üçgende yükseklik tabanın uzantısına düşebilir ve bu dış dikme alan hesabında geçerlidir. Dik üçgende dik kenarlar birbirine dik olduğu için doğrudan taban ve yükseklik olarak kullanılabilir. Aynı üçgenin alanı farklı taban-yükseklik çiftleriyle yazılabildiğinden bilinmeyen dikme eşit alan denklemiyle bulunabilir. Şekil parçalanıyorsa büyük alan, oluşan küçük üçgenlerin alanlarının toplamıdır ve her parça kendi taban-yüksekliğiyle hesaplanır. En önemli dikkat noktası, en belirgin tuzak, herhangi bir uzunluğu seçilen tabana ait yükseklik sanmaktır. Ayrıca dışarı düşen dikmeyi görmezden gelmek geniş açılı üçgenlerde alanı eksik kurdurur. Çözümde önce konuya ait koşul belirlenmeli, sonra formül, oran veya karşılaştırma yalnız bu koşula göre kurulmalıdır. Böylece çizimin görüntüsüne veya ezberlenmiş tek bir kalıba güvenmeden, istenen uzunluk, açı, alan ya da sayı kontrollü biçimde bulunur.

Üçgende Benzerlik, KPSS geometri sorularında şeklin verilenlerini doğru ilişkiye bağlamayı gerektirir. Benzer üçgenlerde karşılıklı açılar eşit, bu açıların karşısındaki kenarlar orantılıdır. Açı-açı benzerliğinde iki açının eşitliği yeterlidir; üçüncü açı iç açı toplamından otomatik eşitlenir. Benzerlik oranı karşılıklı kenarların ortak oranıdır ve çevre de aynı oranla değişir. Yükseklik, kenarortay ve açıortay uzunlukları benzer üçgenlerde kenarlarla aynı katsayıya uyar. Alan oranı uzunluk oranının karesidir; çünkü alan hem taban hem yükseklik değişimini birlikte taşır. En önemli dikkat noktası, kenarları yanlış eşleştirmek, oran doğru yazılmış gibi görünse bile sonucu bozar. Ayrıca küçük-büyük oranını bir satırda ters çevirmek çapraz çarpımı hatalı yapar. Çözümde önce konuya ait koşul belirlenmeli, sonra formül, oran veya karşılaştırma yalnız bu koşula göre kurulmalıdır. Böylece çizimin görüntüsüne veya ezberlenmiş tek bir kalıba güvenmeden, istenen uzunluk, açı, alan ya da sayı kontrollü biçimde bulunur.

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları, KPSS geometri sorularında şeklin verilenlerini doğru ilişkiye bağlamayı gerektirir. Büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar bulunur. Eş açıların karşısındaki kenarlar eşit, eş kenarların karşısındaki açılar eşittir. Karşılaştırma açının komşu kenarlarına göre değil, tam karşısındaki kenara göre yapılır. Dik üçgende 90 derecenin karşısındaki hipotenüs her zaman en uzun kenardır. Geniş açılı üçgende geniş açının karşısındaki kenar diğer kenarlardan uzundur. En önemli dikkat noktası, karşı kenarı yanlış görmek, bütün sıralamayı tersine çevirebilir. Ayrıca uç değerleri aralığa dahil etmek üçgen eşitsizliği sorularında hatalıdır. Çözümde önce konuya ait koşul belirlenmeli, sonra formül, oran veya karşılaştırma yalnız bu koşula göre kurulmalıdır. Böylece çizimin görüntüsüne veya ezberlenmiş tek bir kalıba güvenmeden, istenen uzunluk, açı, alan ya da sayı kontrollü biçimde bulunur.

Çokgenler, KPSS geometri sorularında şeklin verilenlerini doğru ilişkiye bağlamayı gerektirir. Çokgen, doğru parçalarının kapalı sınır oluşturacak biçimde birleşmesidir. Kenar sayısı şeklin adını, köşe sayısını ve iç açı sayısını belirler. Dışbükey çokgende kenarlar içeri çökmez ve temel açı formülleri bu çerçevede kullanılır. Düzgün çokgende bütün kenarlar ve bütün açılar eşittir; dışbükey olmak tek başına düzgünlük değildir. n kenarlı çokgenin iç açıları toplamı n eksi 2 çarpı 180 derecedir. En önemli dikkat noktası, düzgün olmayan çokgende tek açıları eşit kabul etmek gereksiz varsayımdır. Ayrıca dış açı toplamını kenar sayısına bağlı sanmak temel kuralı bozar. Çözümde önce konuya ait koşul belirlenmeli, sonra formül, oran veya karşılaştırma yalnız bu koşula göre kurulmalıdır. Böylece çizimin görüntüsüne veya ezberlenmiş tek bir kalıba güvenmeden, istenen uzunluk, açı, alan ya da sayı kontrollü biçimde bulunur.

Dörtgenler, KPSS geometri sorularında şeklin verilenlerini doğru ilişkiye bağlamayı gerektirir. Dörtgen dört kenarlı bir çokgendir ve iç açılar toplamı 360 derecedir. Dış açılar toplamı da dışbükey dörtgende 360 derecedir. Dörtgenin iki köşegeni vardır ve köşegen çizmek şekli üçgenlere ayırır. İki köşegen çizildiğinde oluşan dört bölgede karşılıklı alanların çarpımları eşittir. Köşegenler birbirine dikse alan köşegen uzunluklarının çarpımının yarısıdır. En önemli dikkat noktası, genel dörtgende paralellik veya eş kenar bilgisi verilmeden özel dörtgen kuralı kullanılamaz. Ayrıca dik köşegen koşulu yoksa köşegenleri çarpıp ikiye bölmek geçerli değildir. Çözümde önce konuya ait koşul belirlenmeli, sonra formül, oran veya karşılaştırma yalnız bu koşula göre kurulmalıdır. Böylece çizimin görüntüsüne veya ezberlenmiş tek bir kalıba güvenmeden, istenen uzunluk, açı, alan ya da sayı kontrollü biçimde bulunur.

Paralelkenar, karşılıklı kenarları paralel olan dörtgendir. Karşı kenarları eşit, karşı açıları eşit, komşu açıları bütünlerdir. Köşegenleri birbirini ortalar; bu özellik uzunluk sorularında orta nokta ilişkisi kurdurur. Alanı taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımıdır. Eşkenar dörtgen, bütün kenarları eşit olan paralelkenardır. Bu nedenle paralelkenarın karşı açı ve köşegenleri ortalama özelliklerini taşır, ayrıca köşegenleri birbirini dik keser ve açıları ikiye böler. Eşkenar dörtgende alan, taban-yükseklikle bulunabileceği gibi köşegenler çarpımının yarısıyla da bulunabilir. Soruda paralellik okları, eş kenar işaretleri ve köşegenlerin kesişimi birlikte verilirse, hangi özelliğin hangi dörtgene ait olduğu dikkatle ayrılmalıdır.

Dikdörtgen, bütün açıları 90 derece olan paralelkenardır. Karşı kenarları eşit ve paraleldir; köşegenleri eşittir ve birbirini ortalar. Dikdörtgende alan kısa kenar ile uzun kenarın çarpımı, çevre ise iki kısa ve iki uzun kenarın toplamıdır. Köşegen çizildiğinde iki eş dik üçgen oluşur ve Pisagor bağıntısı uygulanır. Kare, bütün kenarları eşit ve bütün açıları 90 derece olan özel dörtgendir. Hem dikdörtgenin hem eşkenar dörtgenin özelliklerini taşır. Karenin köşegenleri eşit uzunlukta, birbirini ortalayan, dik kesişen ve açıları ikiye bölen doğru parçalarıdır. Kare köşegeni, kenarın kök 2 katıdır. Bu konu, dik üçgen ve özel üçgen bilgisiyle birlikte çözülmelidir.

Yamuk, bir çift karşı kenarı paralel olan dörtgendir; paralel kenarlar taban, aralarındaki dik uzaklık yükseklik olarak kullanılır. Alan, tabanların toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımıdır; bu ifade orta taban uzunluğu çarpı yükseklik şeklinde de okunur. Orta taban, yan kenarların orta noktalarını birleştirir ve tabanların aritmetik ortalamasına eşittir. Yamukta paralellikten aynı yandaki iç açıların 180 derece olması beklenir, fakat genel yamukta paralelkenardaki kadar güçlü köşegen eşitliği yoktur. İkizkenar yamukta yan kenarlar, taban açıları ve köşegenler için ek eşitlikler doğar. Deltoid ise komşu iki kenar çifti eşit olan dörtgendir; uygun köşegeni simetri ekseni gibi davranır, diğer köşegeni dik keser ve alan köşegenler çarpımının yarısıdır. Özellikle şekil düzgün çizilmiş olsa bile özel ad verilmedikçe simetri, eş köşegen veya eş açı sonuçları otomatik kabul edilmemelidir.

Çemberde açı sorularında önce çemberin temel elemanları doğru okunur. Çember, sabit bir merkeze eşit uzaklıktaki noktalar kümesidir; yarıçap merkezden çembere uzanır, çap merkezden geçen en uzun kiriştir ve yayı iki eş parçaya ayırır. Merkez açı köşesi merkezde olan açıdır; ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. Çevre açı köşesi çember üzerinde olan açıdır; gördüğü yayın yarısı kadardır. Bu yüzden aynı yayı gören çevre açılar eşittir ve aynı yayı gören merkez açı, çevre açının iki katıdır. Çapı gören çevre açı 90 derecedir; bu bilgi dik üçgen bağlantısı kurdurabilir. Teğet-kiriş açısında bir kol teğet, diğer kol kiriş olur ve ölçü çevre açı gibi gördüğü yayın yarısıdır. Ayrıca teğet, değme noktasına çizilen yarıçapa diktir. Bu bölümde iç ve dış açı kuralları değil, bu temel açı ilişkileri güvenle kullanılmalıdır.

Çemberde uzunluk, yarıçap, çap, kiriş, teğet ve kesen parçaları arasındaki bağıntılarla çözülür. Yarıçaplar eşittir ve teğet, değme noktasında yarıçapa diktir. Bu diklik çoğu kez dik üçgen kurdurur. Merkezden kirişe indirilen dikme kirişi iki eş parçaya böler; eş kirişler merkezden eş uzaklıktadır. Dış noktadan çembere çizilen iki teğet parçası birbirine eşittir. Aynı dış noktadan çizilen kesenlerde dış parça ile tüm kesenin çarpımı birbirine eşittir; teğet-kesen durumunda teğetin karesi dış parça ile tüm kesenin çarpımına eşittir. Çemberde uzunluk sorusunda önce hangi doğru parçasının kiriş, hangisinin teğet veya kesen olduğu ayrılmalı, sonra uygun çarpım ya da dik üçgen bağıntısı kurulmalıdır.

Dairede alan, çemberin yalnızca çizgi olmadığını, kapattığı bölgenin de ölçülebileceğini kabul ederek başlar. Çember sınırdır; daire, bu sınırın içiyle birlikte oluşan bölgedir. Yarıçap bilindiğinde alan pi çarpı yarıçapın karesiyle, çevre ise iki pi yarıçapla ilişkilendirilir. Bu ayrım sınavda belirleyicidir, çünkü çevrede yarıçap birinci dereceden, alanda ikinci dereceden kullanılır. Merkez açısı verilen daire dilimlerinde bütün dairenin 360 derece olduğu düşünülür ve istenen parça bu bütüne oranlanır. Yay uzunluğu çevreden, dilim alanı da daire alanından aynı açı payıyla bulunur. Boyalı bölgelerde işlem genellikle büyük parçadan küçük parçayı çıkarmaktır. Çapı yarıçap sanmak, alanı uzunluk gibi oranlamak ve dilimin çevresine iki yarıçapı eklemeyi unutmak en tipik tuzaklardır. Ayrıca alan hesabı yapılmadan önce verilen açının merkez açı olup olmadığı ve istenenin yay mı bölge mi olduğu mutlaka ayrılmalıdır.

Noktanın analitik incelenmesi, düzlemdeki bir konumu iki sayı ile tanımlamaktır. Koordinat sistemi yatay x ekseni ve düşey y ekseni üzerine kurulur; bir nokta yazılırken önce apsis, sonra ordinat verilir. Apsis, noktanın y eksenine göre yatay uzaklık ve yön bilgisini; ordinat, x eksenine göre düşey uzaklık ve yön bilgisini anlatır. Uzaklık her zaman pozitif büyüklük olarak düşünülür, fakat koordinatın işareti noktanın eksenin hangi tarafında kaldığını gösterir. Orijin iki eksenin kesişimidir ve koordinatı sıfır, sıfırdır. Eksen üzerindeki noktalarda bir bileşen sıfır olur. Sınavda en yaygın hata koordinat sırasını ters çevirmek, uzaklıkla işaretli koordinatı aynı şey sanmak ve eksen üzerindeki noktaları bölge noktası gibi değerlendirmektir. Nokta bilgisi daha sonra doğru, eğim ve grafik sorularının başlangıç verisi olduğu için küçük sıra hatası bütün çözümü etkiler.

Analitik düzlem, birbirini dik kesen iki sayı doğrusunun oluşturduğu koordinat sistemidir. Yatay doğru x ekseni, düşey doğru y ekseni olarak adlandırılır ve kesişim noktası orijindir. Bu sistemde her nokta bir sıralı ikiliyle gösterilir; ilk bileşen yatay konumu, ikinci bileşen düşey konumu bildirir. Eksenlerin pozitif ve negatif yönleri düzlemi dört bölgeye ayırır. Birinci bölgede iki değer pozitif, ikinci bölgede x negatif y pozitif, üçüncü bölgede ikisi negatif, dördüncü bölgede x pozitif y negatiftir. Eksen üzerindeki noktalar bölgeye dahil edilmez. Analitik düzlem, nokta yerleştirme dışında uzaklık, eğim, doğru denklemi ve grafik çiziminin ortak zeminidir. Temel tuzaklar apsis-ordinat sırasını bozmak, orijini ihmal etmek ve işaret bilgisiyle uzaklık bilgisini karıştırmaktır. Grafik okumada önce eksen, sonra işaret, en son büyüklük kontrolü yapılırsa seçeneklerdeki yanıltıcı yer değişimleri kolay fark edilir.

Bu anlatımda analitik düzlemde doğru ve doğru parçası üzerinde nokta işlemleri birlikte düşünülür. Bir doğru parçasını belli oranda bölen nokta aranırken önce uç noktalar arasındaki apsis ve ordinat farkları ayrı ayrı alınır; verilen oran, bu farkların hangi parçalara ayrılacağını gösterir. Orta nokta, iki uç noktanın apsislerinin ve ordinatlarının aritmetik ortalamasıyla bulunur. Üçgende ağırlık merkezi, köşe noktalarının apsis ortalaması ile ordinat ortalamasından oluşur. Paralelkenarda köşegenlerin kesişim noktası merkezdir; karşılıklı köşelerin apsis toplamları ve ordinat toplamları eşittir. Doğruya geçildiğinde eğim, düşey değişimin yatay değişime oranı olarak okunur. Sağa yatık doğruda eğim pozitif, sola yatık doğruda negatif, yatay doğruda sıfır, dikey doğruda tanımsızdır. İki noktadan eğim bulunurken y farkı ile x farkı aynı sırayla alınmalı ve işaret kontrol edilmelidir.

Doğrunun grafiğini çizmek, denklemde saklı olan nokta ve yön bilgisini koordinat düzlemine yerleştirmektir. Bir doğruyu çizmek için iki nokta yeterlidir. Denklem y eşittir mx artı n biçimindeyse n, y ekseni kesişimini; m, doğrunun eğimini verir. Buradan bir nokta işaretlenir ve eğime göre yatay-düşey hareketle ikinci nokta bulunur. Genel denklemde eksen kesişimleri pratik yoldur: x ekseni için y sıfır, y ekseni için x sıfır alınır. Orijinden geçen doğrular sıfır, sıfır noktasından geçer; yatay doğrular y eşittir sabit, dikey doğrular x eşittir sabit biçimindedir. Sınav tuzakları eğimin işaretini ters okumak, kesişimlerde yanlış değişkeni sıfırlamak ve çizilen grafiği denklemle son kez kontrol etmemektir. Çizimden sonra seçilen iki noktanın denklemi sağlaması, grafiğin yönünü ve kesişimlerini güvenilir biçimde denetler.

Doğrunun denklemleri, koordinat düzlemindeki bir doğrunun üzerindeki tüm noktaları aynı cebirsel kuralla anlatır. KPSS düzeyinde temel çerçeve, y eşittir mx artı n biçimidir; burada m eğimi, n ise y eksenini kesme değerini gösterir. Doğru orijinden geçiyorsa sabit terim sıfırdır ve denklem y eşittir mx biçimine iner. Bir nokta ve eğim verildiğinde nokta eğim bağıntısı ya da y eşittir mx artı n üzerinden sabit terim bulunur. İki nokta verildiğinde önce eğim, sonra denklem kurulur. Yatay ve düşey doğrular özel durumdur; yatayda y sabit, düşeyde x sabittir. Sınav tuzağı, seçeneklerde aynı doğrunun farklı düzenlenmiş denklemlerle verilmesi ve eğim-sabit terim rollerinin karıştırılmasıdır. Bu içerikte ayrıca işlem sırası, özel doğru halleri ve seçenek kontrolü birlikte ele alınır; böylece aday yalnız formülü değil, hangi bilginin hangi denklem biçimini zorunlu kıldığını öğrenir.

Simetri, analitik düzlemde bir noktanın ya da şeklin belirli bir eksene, doğruya veya merkeze göre yansımasını anlatır. Noktanın x eksenine göre simetrisinde x değeri korunur, y değeri işaret değiştirir. y eksenine göre simetride y değeri korunur, x değeri işaret değiştirir. Orijine göre simetride iki koordinat da işaret değiştirir. y eşittir x doğrusuna göre simetride koordinatlar yer değiştirir; y eşittir eksi x doğrusuna göre hem yer değişimi hem işaret değişimi birlikte düşünülür. Simetri sorularında şekli ezberlemekten çok, hangi uzaklığın korunacağını anlamak gerekir. Yansıyan nokta, simetri alınan eksene ya da doğruya eski noktayla aynı uzaklıkta kalır.

Eşitsizlikler, bilinmeyenin tek bir değere değil, belirli bir aralığa ait olduğunu gösterir. Denklemlerden farkı, işlem yaparken işaret yönünün ve uçların dahil olup olmamasının korunmasıdır. Toplama ve çıkarma eşitsizlik yönünü değiştirmez; pozitif sayıyla çarpma veya bölme de sıralamayı korur. Negatif sayıyla çarpma ya da bölme yönü ters çevirir. Verilen aralıktaki tamsayıları seçmek, pozitif ve negatif değerleri ayırmak, istenen ifadeye en büyük veya en küçük değeri vermek eşitsizlik sorularının temel becerisidir. Bir ifade toplam içeriyorsa en küçük için uygun en küçükler, en büyük için uygun en büyükler seçilir; çıkarma ve negatif katsayı varsa seçim tersine dönebilir. Sınav tuzağı, açık sınırı dahil etmek ve negatif katsayının etkisini gözden kaçırmaktır. Bu anlatım, işlem kurallarıyla birlikte sınavda sık görülen değer verme prosedürünü de kapsar; çünkü doğru aralığı bulmak kadar o aralıktan doğru değeri seçmek de gerekir.

Prizma, alt ve üst tabanları birbirine eş ve paralel olan katı cisimdir. Tabanın şekli prizmanın adını ve kullanılacak alan-çevre bilgisini belirler; kare tabanlı, üçgen tabanlı, dikdörtgen tabanlı veya çokgen tabanlı prizmalar bu mantıkla okunur. Yan ayrıtlar tabana dikse dik prizma, dik değilse eğik prizma söz konusudur. KPSS işlemlerinde çoğunlukla dik prizma kullanılır. Hacim, taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır. Yanal alan, dik prizmada taban çevresi ile yüksekliğin çarpımı olarak bulunur. Tüm alan ise yanal alana iki taban alanının eklenmesidir. Temel tuzak, yüksekliği yan ayrıt sanmak, taban çevresiyle taban alanını karıştırmak ve yüzey alanı sorusunda tabanları eklemeyi unutmaktır. Bu anlatım, tanım koşullarını, formül seçimini ve yüzey-hacim ayrımını birlikte kurar; çünkü prizmada doğru sonuç tabanı doğru okumakla başlar.

Dikdörtgenler prizması, alt ve üst tabanı eş dikdörtgen olan, yan ayrıtları tabana dik kabul edilen dik prizma türüdür. Bir köşeden çıkan üç ayrıt a, b ve c seçildiğinde hacim bu üç uzunluğun çarpımıyla, tüm yüzey alanı ise karşılıklı eş yüz çiftleri üzerinden iki çarpı ab artı ac artı bc toplamıyla bulunur. Yanal alan hesabında taban çevresi ile yükseklik birlikte kullanılır; tüm alan isteniyorsa tabanlar da eklenir. Köşegen sorularında yüzey köşegeni ile cisim köşegeni ayrımı belirleyicidir. Yüzey köşegeni yalnız bir dikdörtgen yüzde kalır, cisim köşegeni ise prizmanın içinden geçer ve üç boyutu aynı anda kullanır. KPSS tuzağı genellikle verilen oranı gerçek uzunluk sanmak, çapraz çizginin hangi köşegen olduğunu ayırmamak veya yanal alanı tüm alanla karıştırmaktır.

Küp, bütün ayrıtları eşit olan dikdörtgenler prizmasıdır; bu nedenle altı yüzü de birbirine eş karelerden oluşur. Bir ayrıt a ise hacim a küp, bir yüzün alanı a kare, tüm yüzey alanı altı a kare ve yanal alan dört a kare olur. Köşegenlerde iki ayrı uzunluk vardır: kare yüzün köşegeni a kök iki, cismin içinden geçen ana köşegen a kök üçtür. Bu fark, Pisagorun hangi düzlemde kurulduğuna bağlıdır. Küp sorularında verilen hacim, alan, yanal alan, tel uzunluğu veya köşegen bilgisinden önce a bulunur; sonra istenen nicelik hesaplanır. Oran, orta nokta, boyama, kesme ve açınım sorularında her yüzün kare, her ayrıtın eş olduğu unutulmamalıdır; en yaygın hata yüzey köşegenini cisim köşegeni gibi yorumlamaktır.

Silindir, tabanı daire olan prizma gibi ele alınır; dik silindirde alt ve üst tabanlar eş dairelerdir ve yükseklik tabanlara dik uzaklıktır. Yarıçap r, yükseklik h ise hacim, taban alanı olan pi r kare ile h çarpılarak pi r kare h bulunur. Açınımda iki daire ve bir dikdörtgen görülür. Bu dikdörtgenin bir kenarı yükseklik, diğer kenarı taban çevresi olan iki pi r değeridir; bu nedenle yanal alan iki pi r h, tüm alan ise iki pi r h artı iki pi r kare olur. Soru dili kapalı silindir, açık kap, etiket, yüzey alanı veya hacim istediğinde dahil edilecek yüzler değişebilir. En önemli tuzak çapı yarıçap sanmak, yanal alan ile tüm alanı karıştırmak ve pi katsayısını erken sadeleştirmemektir.

Dönel silindir, bir düzlemsel şeklin genellikle bir dikdörtgenin bir kenarı etrafında tam tur döndürülmesiyle oluşan dik silindir olarak düşünülür. Dönme ekseni olan kenar yüksekliği, eksene dik uzaklık ise taban yarıçapını belirler. Bu nedenle aynı dikdörtgenin kısa kenarı veya uzun kenarı etrafında döndürülmesi farklı silindirler oluşturabilir. Formüller silindirle aynıdır: hacim pi r kare h, yanal alan iki pi r h ve kapalı tüm alan iki pi r h artı iki pi r kare. Dönel yorumun asıl katkısı, r ve h değerlerini doğrudan verilmiş bir cisimden değil, dönen şekilden okumaktır. Sınav tuzağı eksen üzerindeki uzunluğu yarıçap sanmak, eksene uzak kenarı yükseklik almak veya yan yüzey açınımındaki çevre kenarını h ile karıştırmaktır dikkatle.

Piramit, bir çokgen tabanın köşelerinin taban dışında bir tepe noktasında birleşmesiyle oluşan katı cisimdir. Taban üçgen, kare, beşgen veya başka bir çokgen olabilir; yan yüzler üçgendir ve cisim tek tepeye doğru daralır. Prizmadan farkı, eş ve paralel iki taban yerine tek taban ve tepe noktasına sahip olmasıdır. Hacim, aynı taban alanına ve aynı yüksekliğe sahip prizmanın üçte biri olarak alınır; yani taban alanı çarpı yükseklik bölü üçtür. Yanal alan, yan üçgenlerin alanları toplamıdır; tüm alan için taban alanı eklenir. Tepe yüksekliği, yan ayrıt ve yan yüz yüksekliği farklı uzunluklardır. En yaygın sınav tuzağı yan ayrıtı doğrudan yükseklik sanmak, düzgün piramit varsayımını metin vermeden kullanmak ve üçte bir katsayısını unutmaktır özellikle.

Düzgün piramit, tabanı düzgün çokgen olan ve tepe noktası tabanın merkez doğrusu üzerinde bulunan dik piramittir. Bu tanım yalnızca şeklin güzel görünmesi için değil, hesapların hangi dik üçgenlerle yapılacağını belirlediği için önemlidir. Tepe noktasından tabana indirilen ana yükseklik taban merkezine iner; yan yüz yüksekliği ise tepe noktasından taban kenarının orta noktasına çizilir. Yan ayrıt, tepe ile taban köşesini birleştirir ve genellikle bu iki yükseklikle karıştırılır. Hacim, taban alanı ile ana yüksekliğin çarpımının üçte biridir. Yanal alan, eş yan üçgenlerin alanlarının toplamıdır. Sınavda en sık hata, kare tabanda merkezden köşeye giden uzunluğu merkezden kenara inen uzaklık sanmak veya toplam yüzey alanı sorusunda taban alanını unutmakla ortaya çıkar. Bu konu, düzgünlük koşulunun verdiği simetriyi doğru kullanmayı ve her uzunluğu kendi formülüne yerleştirmeyi gerektirir.

Kesik piramit, bir piramidin tepesine paralel bir düzlemle kesilmesi ve üstteki küçük piramidin çıkarılmasıyla kalan katı cisimdir. Alt ve üst tabanlar paraleldir; düzgün kesik piramitte bu tabanlar benzer düzgün çokgenlerdir. Hacim genellikle büyük piramidin hacminden küçük piramidin hacmini çıkararak bulunur veya alt taban alanı, üst taban alanı ve yükseklik ilişkisini kullanan kesik piramit formülüyle hesaplanır. Yanal yüzler artık üçgen değil, çoğunlukla ikizkenar yamuklardır. Bu nedenle yanal alan hesabında yan yüz yüksekliği ile ana yükseklik karıştırılmamalıdır. Sınav tuzakları, benzerlik oranını uzunluk, alan ve hacimde aynı sanmak; üst tabanı taban alanına eklemeyi unutmak; yan yüz yüksekliğini dik yükseklik yerine kullanmaktır. Kesik piramit, piramit bilgisinin benzerlik ve çıkarma mantığıyla birleşmiş halidir. Özellikle düzgün kesik piramitte yan yüzlerin eş yamuklara dönüşmesi, piramitten kalan düzenin nasıl kullanıldığını gösterir.

Koni, tabanı daire olan piramit gibi düşünülebilir; dairesel tabanın bütün noktaları bir tepe noktasına bağlanır. Dik konide tepe noktası taban merkezinin dik doğrultusundadır. Bu nedenle hacim, aynı taban yarıçapına ve aynı yüksekliğe sahip silindirin üçte biridir; yani taban alanı çarpı yükseklik bölü üç kullanılır. Konide üç temel uzunluk ayrılmalıdır: taban yarıçapı, dik yükseklik ve ana doğru. Ana doğru, tepe noktasından taban çemberine giden eğik uzunluktur ve açınımda daire diliminin yarıçapı olur. Yanal alan pi çarpı taban yarıçapı çarpı ana doğru; toplam alan buna taban alanının eklenmesiyle bulunur. Sınavda en sık hata, ana doğruyu dik yükseklik sanmak veya açınımdaki yay uzunluğunu taban çevresiyle eşleştirmemektir. Dik koni varsayımı açık olduğunda bu üç uzunluk tek bir dik üçgende toplanır ve işlemler güvenle yürütülür.

Küre, uzayda bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu üç boyutlu geometrik şekildir. Bu ortak uzaklık yarıçap olarak düşünülür ve kürede alan ile hacim doğrudan yarıçapa bağlıdır. Yüzey alanı 4 pi r kare, hacim 4 pi r küp bölü 3 formülüyle bulunur. Hacim verilip alan istenirse önce hacim formülünden r değeri çıkarılır; sonra bu yarıçap alan formülüne yerleştirilir. Küre bir düzlemle kesildiğinde oluşan kesit dairedir. Kesit alanını bulmak için kürenin yüzey alanı değil, bu dairenin alanı kullanılır. Merkezden düzleme olan dik uzaklık, kesit dairesinin yarıçapı ve kürenin yarıçapı birlikte dik üçgen oluşturur. Bu nedenle kesit sorularında Pisagor bağıntısı yarıçapı bulmanın temel yoludur. Sonuç, pi r kare ile kesit dairesinin alanına dönüştürülür.