KPSS Geometri Konu Anlatımı

Geometrik kavramlarda açı, başlangıç noktaları ortak olan iki ışının oluşturduğu açıklıktır. Ortak başlangıç noktası açının köşesi, ışınlar açının kollarıdır. Açı üç harfle adlandırıldığında köşe harfi ortada yer alır; bu yüzden ABC ile CBA aynı köşeli açıyı gösterebilir. KPSS düzeyinde ölçüler derece cinsinden okunur. Dar açı 90 dereceden küçük, dik açı 90 derece, geniş açı 90 ile 180 derece arasında, doğru açı 180 derece, tam açı 360 derecedir. Köşesi ve bir kolu ortak olan açılar komşudur; ortak ışın iki eş parçaya ayırıyorsa açıortaydır. Tümler açılar 90, bütünler açılar 180 dereceye tamamlanır. Kesişen doğrularda ters açılar eşit, paralel doğruları kesen bir doğru üzerinde yöndeş, iç ters ve dış ters açılar eşit ilişki verir.

Üçgende açılar, önce üçgenin ne olduğunun doğru okunmasıyla başlar: doğrusal olmayan üç nokta ikişer ikişer birleştirilir; oluşan şeklin köşeleri, kenarları, iç açıları ve kenar uzantılarındaki dış açıları ayrı ayrı adlandırılır. İç açıların toplamı her zaman 180 derecedir. Bir üçgende seçilen dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir; üç dış açının toplamı da 360 derecedir. Açıortay bir iç ya da dış açıyı iki eş parçaya böler, kenarortay karşı kenarın orta noktasına gider, yükseklik karşı kenara dik iner. İkizkenar üçgende eş kenarları gören açılar eşittir; eşkenar üçgende üç iç açı da eşit kabul edilir. Bu konu, şeklin hangi çizgisinin hangi bilgiyi verdiğini ayırarak çözülür ve her sonuç toplamlarla denetlenir.

Dik üçgen, bir açısı 90 derece olan üçgendir. Üçgenin iç açıları toplamı 180 derece olduğu için dik açının dışındaki iki dar açının toplamı 90 derecedir. Dik açının karşısındaki kenar hipotenüstür ve dik üçgenin en uzun kenarıdır; bu yüzden Pisagor bağıntısında yalnız bırakılan kenar doğru seçilmelidir. Dik kenarlar x ve y, hipotenüs z ise x kare artı y kare eşittir z kare yazılır. İki kenar bilindiğinde üçüncü kenar bu bağıntıyla bulunur. 3-4-5, 5-12-13, 7-24-25, 8-15-17 gibi üçlüler Pisagor’un hazır sonuçlarıdır. İkizkenar dik üçgende hipotenüs dik kenarın kök 2 katıdır; 30-60-90 üçgeninde kısa dik kenar hipotenüsün yarısı, uzun dik kenar onun kök 3 katıdır. Sağlam çözüm, önce dik açıyı ve hipotenüsü görüp sonra uygun bağıntıyı kurmaktır.

Açıortay, bir açıyı ölçüleri eş iki parçaya ayıran doğru parçası ya da ışındır. Üçgende iç açıortay köşedeki iç açıyı böler ve karşı kenara ulaştığında bu kenarı komşu kenarlarla orantılı iki parçaya ayırır. Kaynakta oran okuma mantığı, açıortayın karşı kenara değdiği noktadan bir köşeye gidip açıortayın başladığı köşeye geri dönme biçiminde anlatılır: bir taraftaki parça o taraftaki komşu kenarla, diğer taraftaki parça da diğer komşu kenarla eşleştirilir. Açıortay üzerindeki bir noktadan açının kollarına indirilen dik uzaklıklar eşittir; bu bilgi uzunluk sorularında ayrı bir araçtır. Dış açıortayda da oran düşüncesi kullanılır, fakat uzatılmış doğru üzerindeki parçalar dikkatle okunur. En yaygın hata açıortayı kenarortay gibi görmektir: açıortay açıyı eşitler, genel üçgende tabanı eşit bölmez.

Üçgende kenarortay, bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştirir. Üç kenarortay ağırlık merkezi $G$'de kesişir ve köşeden orta noktaya doğru $AG:GD=2:1$ oranında bölünür; dolayısıyla $AG=\frac{2}{3}AD$ olur. Bir kenarortay üçgeni eş alanlı iki parçaya, üç kenarortay altı eş alanlı küçük üçgene ayırır. İki kenarın orta noktalarını birleştiren orta taban üçüncü kenara paralel ve onun yarısıdır. $a$ kenarına ait kenarortay için $m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$ bağıntısı geçerlidir. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir; bu eşitliğin tersi de diklik ölçütü verir.

Özel üçgenler, açı veya kenar yapısı sayesinde uzunlukların hızlı bulunabildiği üçgenlerdir. Dik üçgende 3-4-5 ve 5-12-13 gibi Pisagor üçlüleri, 45-45-90 ve 30-60-90 oranları en temel örneklerdir. İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki açılar eşittir; tepe noktasından tabana indirilen doğru çoğu zaman tabanı ikiye böler, açıyı ikiye böler ve diklik oluşturur. Eşkenar üçgende tüm kenarlar eşit, tüm açılar 60 derecedir; yükseklik çizildiğinde iki tane 30-60-90 üçgeni oluşur. Özel üçgenleri kullanmak, formül ezberinden çok şekil içindeki işaretleri tanımaya dayanır. Soruda oranı fark etmek işlem süresini kısaltır, fakat hangi kenarın hangi açının karşısında olduğu dikkatle belirlenmelidir.

Üçgende Alan, KPSS geometri sorularında şeklin verilenlerini doğru ilişkiye bağlamayı gerektirir. Alan, seçilen taban ile o tabana ait dik yüksekliğin çarpımının yarısıdır; taban değişirse yükseklik de değişir. Geniş açılı üçgende yükseklik tabanın uzantısına düşebilir ve bu dış dikme alan hesabında geçerlidir. Dik üçgende dik kenarlar birbirine dik olduğu için doğrudan taban ve yükseklik olarak kullanılabilir. Aynı üçgenin alanı farklı taban-yükseklik çiftleriyle yazılabildiğinden bilinmeyen dikme eşit alan denklemiyle bulunabilir. Şekil parçalanıyorsa büyük alan, oluşan küçük üçgenlerin alanlarının toplamıdır ve her parça kendi taban-yüksekliğiyle hesaplanır. En önemli dikkat noktası, en belirgin tuzak, herhangi bir uzunluğu seçilen tabana ait yükseklik sanmaktır. Ayrıca dışarı düşen dikmeyi görmezden gelmek geniş açılı üçgenlerde alanı eksik kurdurur. Çözümde önce konuya ait koşul belirlenmeli, sonra formül, oran veya karşılaştırma yalnız bu koşula göre kurulmalıdır. Böylece çizimin görüntüsüne veya ezberlenmiş tek bir kalıba güvenmeden, istenen uzunluk, açı, alan ya da sayı kontrollü biçimde bulunur.

Benzer üçgenlerde eş açılar aynı sırada yazılır ve karşılarındaki kenarlar orantılıdır. $\triangle ABC\sim\triangle DEF$ yazımı $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$, $C\leftrightarrow F$ eşleşmesini bildirir; bu nedenle $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=k$ olur. Benzerlik Açı-Açı, Kenar-Kenar-Kenar veya iki kenarın orantılı ve aradaki açının eşit olduğu Kenar-Açı-Kenar ölçütüyle kurulabilir. Uzunluklar ve çevre $k$, alanlar $k^2$ oranında değişir; karşılıklı yükseklik, kenarortay ve açıortaylar da $k$ oranına uyar. Paralel kesitler ile dik üçgende hipotenüse indirilen yükseklik sık kullanılan benzerlik kaynaklarıdır. En güvenli çözüm, oranı yazmadan önce tepe eşleşmesini belirlemektir.

Bir üçgende açıların büyüklük sırası, tam karşılarındaki kenarların uzunluk sırasıyla aynıdır: büyük açının karşısında uzun, eş açıların karşısında eş kenar bulunur. Karşılaştırma yalnız aynı üçgen içindeki karşılıklı açı-kenar çiftleri arasında yapılır; çizimin ölçekli olduğu varsayılmaz.

Kenar uzunlukları pozitif olmak üzere iki kenar $a$ ve $b$ verilmişse üçüncü kenar $c$ için $|a-b| < c < a+b$ olmalıdır. Uç değerlerde şekil doğru parçasına dönüştüğü için eşitlik kabul edilmez. Tam sayı uzunluk sorularında önce bu açık aralık kurulur, sonra aralıktaki tam sayılar sayılır. En büyük kenar $c$ seçildiğinde $c^2$ ile $a^2+b^2$ karşılaştırması üçgenin dar, dik veya geniş açılı olduğunu belirler.

$n$ kenarlı bir çokgende bir köşeden çizilebilen köşegen sayısı $n-3$, bütün köşegenlerin sayısı $\frac{n(n-3)}{2}$ ve bir köşeden yapılan üçgenleme sayısı $n-2$dir. İç açılar toplamı $(n-2)\cdot180^\circ$, her köşeden aynı yönde alınan dış açıların toplamı $360^\circ$ olur. Düzgün çokgende bir iç açı $\frac{(n-2)180^\circ}{n}$, bir dış ve merkez açı $\frac{360^\circ}{n}$dır. Bu formüller dışbükey çokgen ve standart dış açı kabulüyle kullanılır. Soruda önce kenar sayısı ile düzgünlük koşulu belirlenmeli; yalnız bütün açılar eşitse tek açı formülüne geçilmelidir.

Dörtgenin iç açıları toplamı $360^\circ$ ve köşegen sayısı ikidir. Genel dörtgende paralellik, eşit kenar, diklik veya köşegenlerin birbirini ortalaması çizime bakılarak varsayılamaz. Köşegenlerin kesişmesiyle oluşan dört küçük üçgenin alanları için karşılıklı çarpım bağıntısı $S_1S_3=S_2S_4$ geçerlidir. Köşegenler dikse alan $A=\frac{d_1d_2}{2}$ olur; diklik yoksa bu formül kullanılamaz. Kenar orta noktalarının birleştirilmesi her dörtgende bir paralelkenar oluşturur ve bu paralelkenarın alanı asıl dörtgen alanının yarısıdır. Özel ailelerde koşullar artar: yamukta bir çift, paralelkenarda iki çift karşı kenar paraleldir; dikdörtgen, eşkenar dörtgen ve kare paralelkenarın özel hâlleridir.

Paralelkenar, karşılıklı kenarları paralel olan dörtgendir. Karşı kenarları eşit, karşı açıları eşit, komşu açıları bütünlerdir. Köşegenleri birbirini ortalar; bu özellik uzunluk sorularında orta nokta ilişkisi kurdurur. Alanı taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımıdır. Eşkenar dörtgen, bütün kenarları eşit olan paralelkenardır. Bu nedenle paralelkenarın karşı açı ve köşegenleri ortalama özelliklerini taşır, ayrıca köşegenleri birbirini dik keser ve açıları ikiye böler. Eşkenar dörtgende alan, taban-yükseklikle bulunabileceği gibi köşegenler çarpımının yarısıyla da bulunabilir. Soruda paralellik okları, eş kenar işaretleri ve köşegenlerin kesişimi birlikte verilirse, hangi özelliğin hangi dörtgene ait olduğu dikkatle ayrılmalıdır.

Dikdörtgen, bütün açıları 90 derece olan paralelkenardır. Karşı kenarları eşit ve paraleldir; köşegenleri eşittir ve birbirini ortalar. Dikdörtgende alan kısa kenar ile uzun kenarın çarpımı, çevre ise iki kısa ve iki uzun kenarın toplamıdır. Köşegen çizildiğinde iki eş dik üçgen oluşur ve Pisagor bağıntısı uygulanır. Kare, bütün kenarları eşit ve bütün açıları 90 derece olan özel dörtgendir. Hem dikdörtgenin hem eşkenar dörtgenin özelliklerini taşır. Karenin köşegenleri eşit uzunlukta, birbirini ortalayan, dik kesişen ve açıları ikiye bölen doğru parçalarıdır. Kare köşegeni, kenarın kök 2 katıdır. Bu konu, dik üçgen ve özel üçgen bilgisiyle birlikte çözülmelidir.

Yamuk, en az bir çift karşı kenarı paralel olan dörtgendir. Paralel kenarlar taban, diğerleri yan kenardır; aynı yan kenar üzerindeki iç açılar bütünlerdir. Yüksekliği $h$, tabanları $a$ ve $b$ olan yamuğun alanı $A=\frac{(a+b)h}{2}$ biçimindedir. Orta taban tabanlara paraleldir, uzunluğu $m=\frac{a+b}{2}$ olur ve alan $A=mh$ diye de yazılabilir. Deltoid, yan yana iki ayrı eş kenar çifti bulunan dörtgendir. Eş kenar çiftlerinin birleştiği köşeleri birleştiren köşegen simetri eksenidir; diğer köşegeni dik ortalar ve bu iki köşedeki açıları ikiye böler. Köşegenleri $d_1$ ve $d_2$ olan deltoidin alanı $A=\frac{d_1d_2}{2}$ olur.

Çemberde açı sorularında önce çemberin temel elemanları doğru okunur. Çember, sabit bir merkeze eşit uzaklıktaki noktalar kümesidir; yarıçap merkezden çembere uzanır, çap merkezden geçen en uzun kiriştir ve yayı iki eş parçaya ayırır. Merkez açı köşesi merkezde olan açıdır; ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. Çevre açı köşesi çember üzerinde olan açıdır; gördüğü yayın yarısı kadardır. Bu yüzden aynı yayı gören çevre açılar eşittir ve aynı yayı gören merkez açı, çevre açının iki katıdır. Çapı gören çevre açı 90 derecedir; bu bilgi dik üçgen bağlantısı kurdurabilir. Teğet-kiriş açısında bir kol teğet, diğer kol kiriş olur ve ölçü çevre açı gibi gördüğü yayın yarısıdır. Ayrıca teğet, değme noktasına çizilen yarıçapa diktir. Bu bölümde iç ve dış açı kuralları değil, bu temel açı ilişkileri güvenle kullanılmalıdır.

Çemberde uzunluk, yarıçap, çap, kiriş, teğet ve kesen parçaları arasındaki bağıntılarla çözülür. Yarıçaplar eşittir ve teğet, değme noktasında yarıçapa diktir. Bu diklik çoğu kez dik üçgen kurdurur. Merkezden kirişe indirilen dikme kirişi iki eş parçaya böler; eş kirişler merkezden eş uzaklıktadır. Dış noktadan çembere çizilen iki teğet parçası birbirine eşittir. Aynı dış noktadan çizilen kesenlerde dış parça ile tüm kesenin çarpımı birbirine eşittir; teğet-kesen durumunda teğetin karesi dış parça ile tüm kesenin çarpımına eşittir. Çemberde uzunluk sorusunda önce hangi doğru parçasının kiriş, hangisinin teğet veya kesen olduğu ayrılmalı, sonra uygun çarpım ya da dik üçgen bağıntısı kurulmalıdır.

Dairede alan, çemberin yalnızca çizgi olmadığını, kapattığı bölgenin de ölçülebileceğini kabul ederek başlar. Çember sınırdır; daire, bu sınırın içiyle birlikte oluşan bölgedir. Yarıçap bilindiğinde alan pi çarpı yarıçapın karesiyle, çevre ise iki pi yarıçapla ilişkilendirilir. Bu ayrım sınavda belirleyicidir, çünkü çevrede yarıçap birinci dereceden, alanda ikinci dereceden kullanılır. Merkez açısı verilen daire dilimlerinde bütün dairenin 360 derece olduğu düşünülür ve istenen parça bu bütüne oranlanır. Yay uzunluğu çevreden, dilim alanı da daire alanından aynı açı payıyla bulunur. Boyalı bölgelerde işlem genellikle büyük parçadan küçük parçayı çıkarmaktır. Çapı yarıçap sanmak, alanı uzunluk gibi oranlamak ve dilimin çevresine iki yarıçapı eklemeyi unutmak en tipik tuzaklardır. Ayrıca alan hesabı yapılmadan önce verilen açının merkez açı olup olmadığı ve istenenin yay mı bölge mi olduğu mutlaka ayrılmalıdır.

Noktanın analitik incelenmesi, düzlemdeki bir konumu iki sayı ile tanımlamaktır. Koordinat sistemi yatay x ekseni ve düşey y ekseni üzerine kurulur; bir nokta yazılırken önce apsis, sonra ordinat verilir. Apsis, noktanın y eksenine göre yatay uzaklık ve yön bilgisini; ordinat, x eksenine göre düşey uzaklık ve yön bilgisini anlatır. Uzaklık her zaman pozitif büyüklük olarak düşünülür, fakat koordinatın işareti noktanın eksenin hangi tarafında kaldığını gösterir. Orijin iki eksenin kesişimidir ve koordinatı sıfır, sıfırdır. Eksen üzerindeki noktalarda bir bileşen sıfır olur. Sınavda en yaygın hata koordinat sırasını ters çevirmek, uzaklıkla işaretli koordinatı aynı şey sanmak ve eksen üzerindeki noktaları bölge noktası gibi değerlendirmektir. Nokta bilgisi daha sonra doğru, eğim ve grafik sorularının başlangıç verisi olduğu için küçük sıra hatası bütün çözümü etkiler.

Analitik düzlem, birbirini dik kesen iki sayı doğrusunun oluşturduğu koordinat sistemidir. Yatay doğru x ekseni, düşey doğru y ekseni olarak adlandırılır ve kesişim noktası orijindir. Bu sistemde her nokta bir sıralı ikiliyle gösterilir; ilk bileşen yatay konumu, ikinci bileşen düşey konumu bildirir. Eksenlerin pozitif ve negatif yönleri düzlemi dört bölgeye ayırır. Birinci bölgede iki değer pozitif, ikinci bölgede x negatif y pozitif, üçüncü bölgede ikisi negatif, dördüncü bölgede x pozitif y negatiftir. Eksen üzerindeki noktalar bölgeye dahil edilmez. Analitik düzlem, nokta yerleştirme dışında uzaklık, eğim, doğru denklemi ve grafik çiziminin ortak zeminidir. Temel tuzaklar apsis-ordinat sırasını bozmak, orijini ihmal etmek ve işaret bilgisiyle uzaklık bilgisini karıştırmaktır. Grafik okumada önce eksen, sonra işaret, en son büyüklük kontrolü yapılırsa seçeneklerdeki yanıltıcı yer değişimleri kolay fark edilir.

Bu anlatımda analitik düzlemde doğru ve doğru parçası üzerinde nokta işlemleri birlikte düşünülür. Bir doğru parçasını belli oranda bölen nokta aranırken önce uç noktalar arasındaki apsis ve ordinat farkları ayrı ayrı alınır; verilen oran, bu farkların hangi parçalara ayrılacağını gösterir. Orta nokta, iki uç noktanın apsislerinin ve ordinatlarının aritmetik ortalamasıyla bulunur. Üçgende ağırlık merkezi, köşe noktalarının apsis ortalaması ile ordinat ortalamasından oluşur. Paralelkenarda köşegenlerin kesişim noktası merkezdir; karşılıklı köşelerin apsis toplamları ve ordinat toplamları eşittir. Doğruya geçildiğinde eğim, düşey değişimin yatay değişime oranı olarak okunur. Sağa yatık doğruda eğim pozitif, sola yatık doğruda negatif, yatay doğruda sıfır, dikey doğruda tanımsızdır. İki noktadan eğim bulunurken y farkı ile x farkı aynı sırayla alınmalı ve işaret kontrol edilmelidir.

Doğrunun grafiğini çizmek, denklemde saklı olan nokta ve yön bilgisini koordinat düzlemine yerleştirmektir. Bir doğruyu çizmek için iki nokta yeterlidir. Denklem y eşittir mx artı n biçimindeyse n, y ekseni kesişimini; m, doğrunun eğimini verir. Buradan bir nokta işaretlenir ve eğime göre yatay-düşey hareketle ikinci nokta bulunur. Genel denklemde eksen kesişimleri pratik yoldur: x ekseni için y sıfır, y ekseni için x sıfır alınır. Orijinden geçen doğrular sıfır, sıfır noktasından geçer; yatay doğrular y eşittir sabit, dikey doğrular x eşittir sabit biçimindedir. Sınav tuzakları eğimin işaretini ters okumak, kesişimlerde yanlış değişkeni sıfırlamak ve çizilen grafiği denklemle son kez kontrol etmemektir. Çizimden sonra seçilen iki noktanın denklemi sağlaması, grafiğin yönünü ve kesişimlerini güvenilir biçimde denetler.

Doğrunun denklemleri, koordinat düzlemindeki bir doğrunun üzerindeki tüm noktaları aynı cebirsel kuralla anlatır. KPSS düzeyinde temel çerçeve, y eşittir mx artı n biçimidir; burada m eğimi, n ise y eksenini kesme değerini gösterir. Doğru orijinden geçiyorsa sabit terim sıfırdır ve denklem y eşittir mx biçimine iner. Bir nokta ve eğim verildiğinde nokta eğim bağıntısı ya da y eşittir mx artı n üzerinden sabit terim bulunur. İki nokta verildiğinde önce eğim, sonra denklem kurulur. Yatay ve düşey doğrular özel durumdur; yatayda y sabit, düşeyde x sabittir. Sınav tuzağı, seçeneklerde aynı doğrunun farklı düzenlenmiş denklemlerle verilmesi ve eğim-sabit terim rollerinin karıştırılmasıdır. Bu içerikte ayrıca işlem sırası, özel doğru halleri ve seçenek kontrolü birlikte ele alınır; böylece aday yalnız formülü değil, hangi bilginin hangi denklem biçimini zorunlu kıldığını öğrenir.

Simetri, analitik düzlemde bir noktanın ya da şeklin belirli bir eksene, doğruya veya merkeze göre yansımasını anlatır. Noktanın x eksenine göre simetrisinde x değeri korunur, y değeri işaret değiştirir. y eksenine göre simetride y değeri korunur, x değeri işaret değiştirir. Orijine göre simetride iki koordinat da işaret değiştirir. y eşittir x doğrusuna göre simetride koordinatlar yer değiştirir; y eşittir eksi x doğrusuna göre hem yer değişimi hem işaret değişimi birlikte düşünülür. Simetri sorularında şekli ezberlemekten çok, hangi uzaklığın korunacağını anlamak gerekir. Yansıyan nokta, simetri alınan eksene ya da doğruya eski noktayla aynı uzaklıkta kalır.

Eşitsizlik çözümünde önce sayı kümesi ve işaret bilgisi belirlenir. Bir eşitsizliğin iki tarafına aynı sayı eklenebilir; pozitif sayıyla çarpma veya bölme yönü korur, negatif sayıyla çarpma veya bölme yönü ters çevirir. Ters alma ve karesini alma işlemleri ise ancak sıfırdan uzaklık ve işaret denetimiyle uygulanır. Aralık uçlarının açık ya da kapalı olması, en büyük-en küçük değer sorusunun cevabını değiştirir: $x<7$ koşulunda ve $x\in\mathbb{R}$ iken $7$ üst sınırdır fakat maksimum değildir; $x\in\mathbb{Z}$ ise en büyük değer $6$ olabilir. Birden çok değişkende uç değerleri doğrudan seçmek için değişkenlerin bağımsız olması, seçilen değerlerin aynı anda koşulları sağlaması ve hedef ifadenin ilgili bölgede tekdüze davranması gerekir. Çarpım ve bölümde işaret tablosu kurulmadan yalnız uç noktaları çarpmak güvenli değildir.

Prizma, alt ve üst tabanları birbirine eş ve paralel olan katı cisimdir. Tabanın şekli prizmanın adını ve kullanılacak alan-çevre bilgisini belirler; kare tabanlı, üçgen tabanlı, dikdörtgen tabanlı veya çokgen tabanlı prizmalar bu mantıkla okunur. Yan ayrıtlar tabana dikse dik prizma, dik değilse eğik prizma söz konusudur. KPSS işlemlerinde çoğunlukla dik prizma kullanılır. Hacim, taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır. Yanal alan, dik prizmada taban çevresi ile yüksekliğin çarpımı olarak bulunur. Tüm alan ise yanal alana iki taban alanının eklenmesidir. Temel tuzak, yüksekliği yan ayrıt sanmak, taban çevresiyle taban alanını karıştırmak ve yüzey alanı sorusunda tabanları eklemeyi unutmaktır. Bu anlatım, tanım koşullarını, formül seçimini ve yüzey-hacim ayrımını birlikte kurar; çünkü prizmada doğru sonuç tabanı doğru okumakla başlar.

Dikdörtgenler prizmasının bir köşede buluşan ayrıtları $a$, $b$ ve $c$ olsun. Hacim $V=abc$, tüm yüzey alanı $A=2(ab+ac+bc)$, yanal alan ise taban çevresi ile yüksekliğin çarpımıdır. Bir yüzde kalan köşegen yalnız o yüzün iki ayrıtını kullanır; örneğin $a$ ve $b$ ayrıtlı yüzün köşegeni $d_y=\sqrt{a^2+b^2}$ olur. Prizmanın içinden karşı köşeye giden cisim köşegeni üç boyutu birlikte kullanır: $d_c=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. Ayrıtlar $2:3:4$ oranında ve hacim $192$ birim küp ise ayrıtlar $2k$, $3k$, $4k$ yazılır; $24k^3=192$ eşitliğinden $k=2$ ve cisim köşegeninden $2\sqrt{29}$ birim bulunur. Soru çözümünde oran katsayısını gerçek uzunluk sanmamak, yanal alanı tüm alandan ve yüzey köşegenini cisim köşegeninden ayırmak gerekir.

Küp, bütün ayrıtları eşit olan dikdörtgenler prizmasıdır; bu nedenle altı yüzü de birbirine eş karelerden oluşur. Bir ayrıt a ise hacim a küp, bir yüzün alanı a kare, tüm yüzey alanı altı a kare ve yanal alan dört a kare olur. Köşegenlerde iki ayrı uzunluk vardır: kare yüzün köşegeni a kök iki, cismin içinden geçen ana köşegen a kök üçtür. Bu fark, Pisagorun hangi düzlemde kurulduğuna bağlıdır. Küp sorularında verilen hacim, alan, yanal alan, tel uzunluğu veya köşegen bilgisinden önce a bulunur; sonra istenen nicelik hesaplanır. Oran, orta nokta, boyama, kesme ve açınım sorularında her yüzün kare, her ayrıtın eş olduğu unutulmamalıdır; en yaygın hata yüzey köşegenini cisim köşegeni gibi yorumlamaktır.

Silindir, tabanı daire olan prizma gibi ele alınır; dik silindirde alt ve üst tabanlar eş dairelerdir ve yükseklik tabanlara dik uzaklıktır. Yarıçap r, yükseklik h ise hacim, taban alanı olan pi r kare ile h çarpılarak pi r kare h bulunur. Açınımda iki daire ve bir dikdörtgen görülür. Bu dikdörtgenin bir kenarı yükseklik, diğer kenarı taban çevresi olan iki pi r değeridir; bu nedenle yanal alan iki pi r h, tüm alan ise iki pi r h artı iki pi r kare olur. Soru dili kapalı silindir, açık kap, etiket, yüzey alanı veya hacim istediğinde dahil edilecek yüzler değişebilir. En önemli tuzak çapı yarıçap sanmak, yanal alan ile tüm alanı karıştırmak ve pi katsayısını erken sadeleştirmemektir.

Dönel silindir, bir düzlemsel şeklin genellikle bir dikdörtgenin bir kenarı etrafında tam tur döndürülmesiyle oluşan dik silindir olarak düşünülür. Dönme ekseni olan kenar yüksekliği, eksene dik uzaklık ise taban yarıçapını belirler. Bu nedenle aynı dikdörtgenin kısa kenarı veya uzun kenarı etrafında döndürülmesi farklı silindirler oluşturabilir. Formüller silindirle aynıdır: hacim pi r kare h, yanal alan iki pi r h ve kapalı tüm alan iki pi r h artı iki pi r kare. Dönel yorumun asıl katkısı, r ve h değerlerini doğrudan verilmiş bir cisimden değil, dönen şekilden okumaktır. Sınav tuzağı eksen üzerindeki uzunluğu yarıçap sanmak, eksene uzak kenarı yükseklik almak veya yan yüzey açınımındaki çevre kenarını h ile karıştırmaktır dikkatle.

Piramit, bir çokgen taban ile taban düzlemi dışındaki tek tepe noktasını birleştiren üçgensel yan yüzlerden oluşur. Yükseklik, tepeden taban düzlemine indirilen dik uzaklıktır; ayrıt veya yan yüz yüksekliği değildir. Taban alanı $B$, dik yükseklik $h$ ise hacim $V=\frac{1}{3}Bh$ olur. Yanal alan, üçgen yan yüzlerin alanları toplamıdır; toplam alan taban alanı ile yanal alanın toplamıdır. Dik ve düzgün piramitte taban çevresi $p$, yan yüz yüksekliği $l$ olduğunda yanal alan $\frac{1}{2}pl$ biçiminde yazılabilir. Soruda önce hangi uzunluğun dik yükseklik, hangisinin eğik yükseklik olduğu belirlenmelidir.

Düzgün piramit, tabanı düzgün çokgen olan ve tepe noktası tabanın merkez doğrusu üzerinde bulunan dik piramittir. Bu tanım yalnızca şeklin güzel görünmesi için değil, hesapların hangi dik üçgenlerle yapılacağını belirlediği için önemlidir. Tepe noktasından tabana indirilen ana yükseklik taban merkezine iner; yan yüz yüksekliği ise tepe noktasından taban kenarının orta noktasına çizilir. Yan ayrıt, tepe ile taban köşesini birleştirir ve genellikle bu iki yükseklikle karıştırılır. Hacim, taban alanı ile ana yüksekliğin çarpımının üçte biridir. Yanal alan, eş yan üçgenlerin alanlarının toplamıdır. Sınavda en sık hata, kare tabanda merkezden köşeye giden uzunluğu merkezden kenara inen uzaklık sanmak veya toplam yüzey alanı sorusunda taban alanını unutmakla ortaya çıkar. Bu konu, düzgünlük koşulunun verdiği simetriyi doğru kullanmayı ve her uzunluğu kendi formülüne yerleştirmeyi gerektirir.

Kesik piramit, bir piramidin tepesine paralel bir düzlemle kesilmesi ve üstteki küçük piramidin çıkarılmasıyla kalan katı cisimdir. Alt ve üst tabanlar paraleldir; düzgün kesik piramitte bu tabanlar benzer düzgün çokgenlerdir. Hacim genellikle büyük piramidin hacminden küçük piramidin hacmini çıkararak bulunur veya alt taban alanı, üst taban alanı ve yükseklik ilişkisini kullanan kesik piramit formülüyle hesaplanır. Yanal yüzler artık üçgen değil, çoğunlukla ikizkenar yamuklardır. Bu nedenle yanal alan hesabında yan yüz yüksekliği ile ana yükseklik karıştırılmamalıdır. Sınav tuzakları, benzerlik oranını uzunluk, alan ve hacimde aynı sanmak; üst tabanı taban alanına eklemeyi unutmak; yan yüz yüksekliğini dik yükseklik yerine kullanmaktır. Kesik piramit, piramit bilgisinin benzerlik ve çıkarma mantığıyla birleşmiş halidir. Özellikle düzgün kesik piramitte yan yüzlerin eş yamuklara dönüşmesi, piramitten kalan düzenin nasıl kullanıldığını gösterir.

Koni, tabanı daire olan piramit gibi düşünülebilir; dairesel tabanın bütün noktaları bir tepe noktasına bağlanır. Dik konide tepe noktası taban merkezinin dik doğrultusundadır. Bu nedenle hacim, aynı taban yarıçapına ve aynı yüksekliğe sahip silindirin üçte biridir; yani taban alanı çarpı yükseklik bölü üç kullanılır. Konide üç temel uzunluk ayrılmalıdır: taban yarıçapı, dik yükseklik ve ana doğru. Ana doğru, tepe noktasından taban çemberine giden eğik uzunluktur ve açınımda daire diliminin yarıçapı olur. Yanal alan pi çarpı taban yarıçapı çarpı ana doğru; toplam alan buna taban alanının eklenmesiyle bulunur. Sınavda en sık hata, ana doğruyu dik yükseklik sanmak veya açınımdaki yay uzunluğunu taban çevresiyle eşleştirmemektir. Dik koni varsayımı açık olduğunda bu üç uzunluk tek bir dik üçgende toplanır ve işlemler güvenle yürütülür.

Küre yüzeyi, merkezden yarıçap kadar uzaktaki noktaların kümesidir; katı küre ise bu yüzeyle iç bölgesinin birleşimidir. Kürenin yüzey alanı $4\pi r^2$, hacmi $\frac{4}{3}\pi r^3$ formülüyle bulunur. Hacim verilip alan istenirse önce hacim bağıntısından yarıçap çıkarılır, sonra alan formülüne yerleştirilir. Merkezden düzleme olan dik uzaklık $d$ ise $0 \le d < r$ durumunda kesit, yarıçapı $\rho=\sqrt{r^2-d^2}$ olan dairesel bölgedir; alanı $\pi\rho^2$ olur. $d=r$ olduğunda düzlem küreye teğettir ve kesit tek noktaya küçülür; $d>r$ olduğunda kesişim yoktur. Bu nedenle kesit sorularında önce düzlemin küreyle gerçekten nasıl kesiştiği belirlenmeli, ardından Pisagor bağıntısı kullanılmalıdır.