Kesik Piramit Konu Anlatımı

Kesik piramit, piramit konusunun doğrudan devamıdır.

Bir piramit, tabanına paralel bir düzlemle kesildiğinde tepe tarafında daha küçük ve asıl piramide benzer bir piramit oluşur.

Bu küçük parça çıkarıldığında geriye kalan katı cisme kesik piramit denir.

Alt taban eski piramidin tabanıdır; üst taban ise kesme düzleminin oluşturduğu daha küçük ve paralel tabandır.

Düzgün kesik piramitte alt ve üst tabanlar benzer düzgün çokgenlerdir.

Örneğin düzgün kare piramit paralel kesilirse alt ve üst taban kare, yan yüzler ise eş ikizkenar yamuk olur.

Kesik piramidi anlamanın en sağlam yolu onu tek başına yeni bir şekil gibi ezberlemek değil, piramitten çıkarılmış parça olarak düşünmektir.

Tam piramitte bütün yan ayrıtlar tepede birleşirken kesik piramitte bu birleşme noktası artık cisim üzerinde yoktur.

Buna rağmen yan ayrıtların uzantıları geriye doğru devam ettirilirse ortak bir tepe noktasında buluşur.

Bu gözlem benzerlik kurmayı sağlar.

Üst tabanın kenarı ile alt tabanın kenarı arasındaki oran, küçük piramidin tam piramide göre uzunluk oranıdır.

Bu oran yüksekliklerde ve yan ayrıt uzantılarında da uzunluk oranı olarak geçerlidir.

Alanlarda bu oranın karesi, hacimlerde küpü kullanılır.

Kesik piramitte alt ve üst tabanlar paralel olduğundan aralarındaki dik uzaklık cismin ana yüksekliğidir.

Bu yükseklik, yan yüzlerin üzerinde ölçülen eğik yükseklik değildir.

Düzgün kesik piramitte yan yüzler yamuk olduğundan her yan yüzün alanı, yamuğun alt tabanı ile üst tabanı toplamının yarısı çarpı yamuğun yüksekliğiyle bulunur.

Buradaki yamuk yüksekliği yan yüz yüksekliğidir; ana yükseklikten farklıdır.

Ana yükseklik taban düzlemleri arasında dik inerken, yan yüz yüksekliği yamuğun üzerinde alt ve üst taban kenarları arasındaki en kısa uzaklıktır.

Sınavda bu iki uzunluğun karıştırılması kesik piramit sorularının en klasik hatasıdır.

Hacim hesabı için iki yol vardır.

Birinci yol, büyük piramidin hacminden tepedeki küçük piramidin hacmini çıkarmaktır.

Bu yöntem özellikle benzerlik oranı açıkça verildiğinde çok kullanışlıdır.

Büyük piramidin yüksekliği H, küçük piramidin yüksekliği h ise kesik piramidin yüksekliği H eksi h olur.

Taban alanları da benzerlikten bulunur.

Büyük ve küçük piramitlerin hacimleri taban alanı çarpı yükseklik bölü üç biçiminde hesaplanır; fark alındığında kesik parçanın hacmi elde edilir.

İkinci yol, kesik piramit hacim formülünü kullanmaktır: yükseklik bölü üç çarpı alt taban alanı, üst taban alanı ve bu iki alanın geometrik ortalamasının toplamı.

Sınav düzeyinde bu formül verilmiyorsa çıkarma yöntemi daha güvenli ve hataya daha kapalıdır.

Düzgün kesik piramitte yanal alan, yan yüzlerdeki eş yamukların toplamıdır.

Kare tabanlı düzgün kesik piramitte dört yan yüz vardır; alt taban kenarı a, üst taban kenarı b, yan yüz yüksekliği l ise bir yamuğun alanı a artı b çarpı l bölü iki olur ve bu dörtle çarpılır.

Genel düzgün çokgen tabanlı durumda yanal alan, alt taban çevresi ile üst taban çevresi toplamının yarısı çarpı yan yüz yüksekliği olarak düşünülebilir.

Bu kısa ifade, eş yamuk alanlarının toplanmış halidir.

Toplam yüzey alanı istenirse yanal alana hem alt taban alanı hem de üst taban alanı eklenir.

Sadece yanal alan sorulursa tabanlar eklenmez.

Kesik piramit sorularında benzerlik oranını doğru yerde kullanmak belirleyicidir.

Kenar uzunluklarının oranı iki ise alanların oranı dört, hacimlerin oranı sekizdir.

Adaylar çoğu zaman alt taban kenarı ile üst taban kenarını karşılaştırıp aynı oranı doğrudan alanlara uygular; bu yanlıştır.

Tabanlar kareyse kenar oranının karesi alan oranını verir.

Tabanlar eşkenar üçgen veya düzgün altıgen olsa da mantık değişmez; benzer çokgenlerin alanları uzunluk oranının karesiyle orantılıdır.

Hacimde ise benzer piramitlerin tüm doğrusal ölçüleri aynı oranla değiştiğinden hacim oranı bu oranın küpüdür.

Prosedür olarak önce şeklin gerçekten kesik piramit olup olmadığı okunmalıdır.

Paralel kesit yoksa, üst ve alt tabanların benzer olduğu kendiliğinden söylenemez.

Sonra verilen uzunlukların hangi gruba ait olduğu belirlenir: alt taban kenarı, üst taban kenarı, ana yükseklik, yan yüz yüksekliği veya yan ayrıt.

Hacim isteniyorsa ana yükseklik gerekir; yanal alan isteniyorsa yan yüz yüksekliği gerekir.

Eksik olan yükseklik çoğunlukla bir dik üçgenle bulunur.

Kare tabanlı düzgün kesik piramitte alt ve üst tabanın karşılıklı kenarları arasındaki farkın yarısı, yan yüz üzerinde yan yükseklikle birlikte dik üçgen kurabilir.

Ancak bu, taban düzlemleri arasındaki ana yükseklikle aynı çizgi değildir.

Kesik piramit, hukuki bir konu değil geometrik bir modeldir; bu yüzden koşulları tanım düzeyindedir.

Temel koşul, piramidin tabana paralel bir düzlemle kesilmesidir.

Düzgün kesik piramit için başlangıç piramidinin düzgün olması ve kesitin tabana paralel alınması gerekir.

Bu koşullar varsa yan yüzlerde düzenli yamuklar, tabanlarda benzer düzgün çokgenler ve benzerlikten gelen oranlar kullanılabilir.

Koşul yoksa ezbere formüller uygulanmaz.

KPSS sorularında en önemli sınav dili ayrımı da buradadır: yanal alan, toplam yüzey alanı, ana yükseklik, yan yüz yüksekliği ve benzerlik oranı ifadeleri ayrı ayrı takip edilmelidir.

Kesik piramitte karşılaştırma yapılırken prizma, piramit ve kesik piramit farkı açık tutulmalıdır.

Prizmada alt ve üst tabanlar eş ve paraleldir; yan yüzler genellikle paralelkenar veya dikdörtgen mantığıyla gider.

Piramitte tek taban vardır ve yan yüzler tepede birleşen üçgenlerdir.

Kesik piramitte ise iki paralel taban bulunur, fakat bu tabanlar eş değil benzerdir; yan yüzler de tepede birleşmediği için üçgen değil yamuk haline gelir.

Bu nedenle piramidin hacim formülünü doğrudan kesik parçaya uygulamak doğru değildir.

Ya büyük piramitten küçük piramit çıkarılır ya da kesik piramide özgü hacim bağıntısı kullanılır.

Bir soru üst taban kenarını, alt taban kenarını ve kesik piramidin yüksekliğini veriyorsa önce hangi alanların hesaplanacağı belirlenir.

Kare tabanlı durumda alt ve üst taban alanları kolayca bulunur; ancak yan yüz yüksekliği ayrıca verilmemişse taban kenarları arasındaki farkın yarısı ile ana yükseklik aynı düzlemde düşünülerek bir dik üçgen kurulabilir.

Burada kullanılan fark, karşılıklı kenarlar arasındaki küçülmeden gelir.

Düzgün olmayan veya paralel kesilmemiş bir cisimde bu yol kullanılamaz.

Bu yüzden kesik piramit sorularında şeklin düzgünlüğü ve kesitin paralelliği yalnızca görsel ayrıntı değil, işlem iznidir.