Üçgende Açılar Konu Anlatımı

Üçgende açı çalışması, yalnızca derece toplamak değildir; önce şeklin parçalarını doğru adlandırmak gerekir.

Üçgen, düzlemde doğrusal olmayan üç noktanın ikişer ikişer birleştirilmesiyle oluşur.

ABC üçgeni denildiğinde A, B ve C noktaları köşelerdir; AB, BC ve AC doğru parçaları kenarlardır.

A, B ve C köşelerinde kalan açılar iç açılardır.

Bir kenar uzatıldığında, uzatılan doğru üzerinde iç açının dış tarafında kalan açı ise dış açı olarak okunur.

Bu ayrım önemlidir, çünkü iç açıyla dış açı aynı köşeye bağlı olsa bile aynı bilgiyi vermez; biri üçgenin içinde kalan açıklığı, diğeri kenar uzantısı üzerindeki açıklığı anlatır.

Bir üçgende en temel ilişki iç açıların toplamıdır.

A, B ve C iç açıları verilmişse bu üç ölçünün toplamı her zaman 180 derecedir.

Örneğin iki iç açı 50 derece ve 70 derece olarak okunuyorsa üçüncü iç açı 180 dereceden bu iki değerin toplamı çıkarılarak bulunur.

Bu kural yalnız eksik açıyı bulmak için değil, şeklin tutarlı çizilip çizilmediğini denetlemek için de kullanılır.

Üçgenin içinde iki dik açı ya da iki geniş açı beklenmez; çünkü tek başına bu değerler toplamı 180 derece sınırını aşar veya üçüncü açıya yer bırakmaz.

Dış açı, üçgende ikinci ana kapıdır.

Her köşede bir kenar uzatıldığında o köşenin dış açısı oluşur.

Üçgenin seçilen bir dış açısının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.

A köşesindeki dış açı düşünülüyorsa, onun komşusu A iç açısıdır; bu nedenle toplam ilişkisi B ve C iç açılarıyla kurulur.

Bu ayrım yapılmazsa en yaygın hata ortaya çıkar: dış açı, yanındaki iç açıyla toplanacak uzak açılarla karıştırılır.

Dış açı uzak iki iç açının toplamına eşittir; yanındaki iç açıyla ise aynı doğru üzerinde bütünler davranışı gösterir.

Üçgenin dış açıları ayrıca toplu bir kontrol verir.

Her köşeden birer dış açı seçildiğinde dış açıların toplamı 360 derecedir.

Bu bilgi özellikle birden fazla dış açı verilmişse üçüncü dış açıyı bulmayı kolaylaştırır.

İç açılar toplamının 180 derece, dış açılar toplamının 360 derece olması iki ayrı kuraldır ve birbirinin yerine kullanılmamalıdır.

Bir soruda dış açı işaretleri köşelerin dışında duruyorsa önce bunların gerçekten dış açı olup olmadığı belirlenir; sonra ya 360 derece toplamı kullanılır ya da seçilen dış açı uzak iki iç açının toplamı olarak içeri taşınır.

Açıortay, açı sorularında çizginin görevini değiştiren yardımcı elemandır.

Açıortay bir açıyı iki eşit parçaya bölen doğru parçası ya da ışın olarak düşünülür.

A köşesinden çizilen bir açıortay varsa A açısının iki yanında eş ölçülü iki parça oluşur.

Bu, toplamı bilinen bir açının yarısını yazmayı veya eş iki küçük açıya aynı değişkeni vermeyi sağlar.

Açıortay yalnız iç açılarda bulunmaz; dış açıyı tam ortadan iki eş parçaya ayıran ışın da dış açıortaydır.

Bu yüzden şeklin içinde duran açıortay ile uzantı tarafında duran dış açıortay aynı kelimeyle anılsa da böldükleri açı farklıdır.

Açıortayların kesişimi de şekil okumasında yer tutar.

Üç iç açıortay tek bir noktada kesişir ve bu nokta iç teğet çemberin merkezi olarak adlandırılır.

Ayrıca iki dış açıortayın kesiştiği nokta üçüncü köşeye birleştirildiğinde oluşan çizgi de açıortay özelliği taşır; bir iç ve bir dış açıortayın kesişimiyle de benzer bir açıortay ilişkisi kurulabilir.

Bu bilgiler ayrıntılı çember hesabı yapmak için değil, bir çizginin neden açıyı ikiye böldüğünü tanımak için kullanılmalıdır.

Soruda kesişim noktası verilmişse çizginin rastgele yardımcı çizgi mi, yoksa açıortay bilgisi taşıyan özel çizgi mi olduğu buna göre anlaşılır.

Kenarortay, açıortayla karıştırılmaması gereken başka bir yardımcı elemandır.

Kenarortay herhangi bir köşeden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasıdır.

Bu çizgi açıyı ikiye bölmek zorunda değildir; verdiği ana bilgi karşı kenarın iki eş parçaya ayrılmasıdır.

Örneğin A köşesinden BC kenarının orta noktasına çizilen doğru parçası kenarortaydır ve BC üzerinde iki eş uzunluk oluşturur.

Bu bilgi açı sorusunda doğrudan derece vermez, fakat şeklin içinde eş parçalar ve bazen yeni üçgenler oluşturduğu için açı ilişkilerinin kurulacağı alanı netleştirir.

Yükseklik ise bir köşeden karşı kenara indirilen dikmedir.

Bir doğru parçasının yükseklik sayılması için karşı kenara dik olması gerekir.

Bu nedenle yükseklik görüldüğünde en güvenilir bilgi 90 derecelik açıdır.

Üçgenin üç kenarı olduğu için üç yükseklik düşünülebilir ve yükseklikler tek bir noktada kesişir; bu nokta diklik merkezi olarak adlandırılır.

Açı sorularında yükseklik, çoğu zaman şekle bir dik açı ekler.

Bu dik açı, iç açı toplamı ile birleştiğinde kalan dar açıları buldurabilir.

Ancak yükseklik, kenarı ortalamaz ve açıyı ikiye bölmez; yalnız diklik bilgisi verir.

Üçgen türleri de açı okumayı etkiler.

İç açılarının üçü de 90 dereceden küçük olan üçgen dar açılıdır.

Bir iç açısı 90 derece olan üçgen dik açılıdır; bu durumda diğer iki iç açı dar olmak zorundadır, çünkü toplam 180 dereceyi tamamlarlar.

Bir iç açısı 90 dereceden büyükse üçgen geniş açılıdır ve diğer iki iç açı yine dar kalır.

Böylece bir üçgende iki geniş açı olamayacağı, iki dik açı bulunamayacağı ve dik ya da geniş açı görüldüğünde kalan açıların sınırlandığı anlaşılır.

Bu sınıflama, bilinmeyen açıya mümkün olmayan değer yazmayı engeller.

Kenar eşitliği verilen üçgenlerde açı eşitliği de doğar.

İkizkenar üçgende birbirine eşit olan kenarları gören açılar birbirine eşittir.

Bu nedenle iki kenarın eşit olduğu görülüyorsa, karşılarındaki iki açıya aynı değer verilebilir.

Eşkenar üçgende üç kenar eşit olduğundan üç iç açı da birbirine eşittir; iç açıların toplamı 180 derece olduğuna göre her biri aynı payı alır.

Burada dikkat edilmesi gereken nokta, eş açı sonucunun ancak eş kenar bilgisi açıkça verildiğinde kullanılabilmesidir.