Noktanın Analitik İncelenmesi Konu Anlatımı

Analitik geometride nokta, artık yalnızca kağıt üzerinde işaretlenen belirsiz bir yer değildir; iki sayı ile adreslenen kesin bir konumdur.

Sayı doğrusundan koordinat düzlemine geçerken tek yönlü sayı bilgisinin düzlemdeki bir yeri anlatmaya yetmediği görülür; bu yüzden birbirine dik iki eksen kullanılır.

Yatay eksen x ekseni, düşey eksen y ekseni olarak düşünülür.

Bu iki eksenin kesiştiği noktaya orijin denir ve orijinin koordinatı sıfır, sıfırdır.

Bir noktanın analitik incelenmesi, o noktanın x ekseni boyunca nerede durduğunu, y ekseni boyunca ne kadar yükseldiğini veya alçaldığını ve bu bilgilerin işaretlerini birlikte yorumlamaktır.

Böylece geometri, şekil okuma ile sayı okumanın birleştiği bir dile dönüşür.

Bir noktanın koordinatı parantez içinde iki bileşenle yazılır.

İlk bileşen apsis, ikinci bileşen ordinattır.

Apsis x ekseninden gelen değerdir; noktanın sağa veya sola olan konumunu anlatır.

Ordinat y ekseninden gelen değerdir; noktanın yukarı veya aşağı olan konumunu gösterir.

Bu sıra değiştirilemez.

Örneğin genel olarak a, b biçiminde yazılan bir nokta ile b, a biçimindeki nokta ancak özel koşullarda aynı yere düşer; çoğu durumda bambaşka konumları anlatır.

Bu nedenle nokta sorularının işlem çerçevesi önce koordinat sırasını korumaktır.

Parantezin ilk yerine x değeri, ikinci yerine y değeri yazılır; grafikten okurken de önce yatay, sonra düşey bilgi alınır.

Apsis ve ordinat yalnız sayı değildir, yön bilgisi de taşır.

Apsis pozitifse nokta orijinin sağ tarafındadır, negatifse sol tarafındadır.

Ordinat pozitifse nokta yukarıda, negatifse aşağıdadır.

Koordinatın sıfır olması ise noktanın ilgili eksen üzerinde bulunduğunu gösterir. y değeri sıfır olan noktalar x ekseni üzerindedir; x değeri sıfır olan noktalar y ekseni üzerindedir.

Hem x hem y sıfırsa nokta orijindir.

Bu özel durumlar, bölge sınıflandırmasından ayrı tutulmalıdır.

Eksen üzerindeki bir nokta birinci, ikinci, üçüncü veya dördüncü bölgenin içinde kabul edilmez; eksenin kendisine aittir.

Sınav seçeneklerinde bu ayrım çoğu zaman eleme imkanı verir.

Noktanın eksenlere uzaklığı incelenirken işaret ile uzaklık arasındaki fark özellikle önemlidir.

Uzaklık negatif olmaz; çünkü iki yer arasındaki mesafe büyüklüktür.

Ancak koordinatın işareti, bu mesafenin hangi yönde alındığını gösterir.

Bir noktanın x eksenine uzaklığı ordinatının mutlak değeri kadardır, y eksenine uzaklığı ise apsisinin mutlak değeri kadardır.

Bu ilişki örnek noktalar üzerinde de aynı mantıkla okunur: y eksenine olan uzaklık x bileşeniyle, x eksenine olan uzaklık y bileşeniyle ilişkilidir.

Bu ilk bakışta ters gibi görünebilir; çünkü bir eksene uzaklık o eksene dik yönde ölçülür. x eksenine dik hareket düşeydir, bu yüzden ordinat devreye girer; y eksenine dik hareket yataydır, bu yüzden apsis kullanılır.

Koordinat düzleminde noktanın hangi bölgede bulunduğu da nokta incelemesinin doğal parçasıdır.

Birinci bölgede iki bileşen de pozitiftir.

İkinci bölgede apsis negatif, ordinat pozitiftir.

Üçüncü bölgede ikisi de negatiftir.

Dördüncü bölgede apsis pozitif, ordinat negatiftir.

Bu sınıflandırma, noktanın yerini çizmeden anlamayı sağlar.

Soru bir noktanın ikinci bölgede olduğunu söylüyorsa x değerinin negatif, y değerinin pozitif olması gerekir.

Eğer seçeneklerde bu işaret düzenini sağlamayan koordinatlar varsa işlem yapmadan elenir.

Böylece bölge bilgisi yalnız tanım değil, sınav stratejisidir.

Ancak eksen üzerinde kalan noktalar bu işaret düzenine zorla sokulmaz; bir bileşeni sıfır olan nokta sınır durumudur.

Noktanın analitik incelenmesinde verilen bilgi bazen doğrudan koordinat, bazen de uzaklık olarak gelir.

Bir noktanın y eksenine uzaklığı 5 birim denirse apsisin mutlak değeri 5 olur; noktanın sağda mı solda mı olduğu ayrıca verilmedikçe apsis 5 de olabilir, eksi 5 de olabilir.

Aynı şekilde x eksenine uzaklığı 3 birim olan noktanın ordinatı 3 veya eksi 3 olabilir.

Bu koşul ifadeleri sınavda çok kullanışlıdır, çünkü işaret bilgisi eksikse birden fazla olasılık doğar.

Nokta belli bir bölgede denmişse bu olasılıklardan biri seçilir.

Örneğin y eksenine uzaklığı 4, x eksenine uzaklığı 2 olan ve üçüncü bölgede bulunan noktanın apsisi eksi 4, ordinatı eksi 2 olmalıdır.

Bir noktanın başka bir noktayla ilişkisi incelenirken yatay ve düşey değişimler ayrı okunur.

A noktasından B noktasına gidilirken x değeri artıyorsa sağa, azalıyorsa sola hareket vardır; y değeri artıyorsa yukarı, azalıyorsa aşağı hareket vardır.

Bu düşünme biçimi daha sonraki uzaklık, orta nokta, eğim ve doğru denklemi konularının temelidir.

İki noktanın aynı apsise sahip olması onları düşey bir doğru üzerinde buluşturur; aynı ordinata sahip olmaları yatay bir doğru üzerinde olduklarını gösterir.

Bu özel karşılaştırmalar formüle girmeden hızlı karar vermeyi sağlar.

Nokta bilgisi doğru okunmadığında sonraki bütün analitik işlemler yanlış zeminde ilerler.

Nokta sorularında prosedür sade tutulmalıdır.

Önce verilenin koordinat mı, uzaklık mı, bölge bilgisi mi olduğu belirlenir.

Sonra apsis ve ordinatın yerleri ayrılır.

Üçüncü adımda işaretler, orijin ve eksen bilgileri kontrol edilir.

Son olarak gerekiyorsa grafik üzerinde nokta yerleştirilir veya seçenekler bu koşullara göre denenir.

En sık tuzak, parantez içinde verilen sayıların sırasını günlük dildeki sırayla karıştırmaktır.

Bir başka tuzak, uzaklık ifadesini işaretli koordinat gibi yorumlamaktır.

Uzaklık pozitif büyüklüktür; işaret, ancak yön veya bölge bilgisiyle belirlenir.

Bu ayrımı koruyan aday, analitik düzlemde nokta gösterimini yalnız ezber olarak değil, tutarlı bir konum okuma sistemi olarak kullanır.

Nokta incelemesinde eksen üzerindeki ve eksen dışındaki konumları ayırmak da önemlidir. x ekseni üzerindeki bir noktada ordinat sıfırdır; çünkü nokta yukarı ya da aşağı uzaklaşmamıştır. y ekseni üzerindeki bir noktada apsis sıfırdır; çünkü nokta sağa ya da sola uzaklaşmamıştır.

Orijinde ise iki uzaklık da sıfırdır.

Bir nokta eksenin üzerinde değilse, koordinatları hem yön hem uzaklık bilgisi verir.

Apsisin mutlak değeri y eksenine uzaklığı, ordinatın mutlak değeri x eksenine uzaklığı gösterir.