Dönel Silindir Konu Anlatımı

Dönel silindir, silindirin yalnız hazır bir katı cisim olarak değil, bir dönme hareketinin sonucu olarak anlaşılmasını sağlar.

En temel modelde bir dikdörtgen kendi kenarlarından biri etrafında tam tur döndürülür.

Dönme sırasında eksen olarak seçilen kenar yer değiştirmez; karşı taraftaki noktalar ise çemberler çizer.

Bu çemberlerin oluşturduğu yüzey silindirin yan yüzeyidir.

Eksen uzunluğu silindirin yüksekliği, eksene olan dik uzaklık ise tabanın yarıçapı olur.

Bu ayrım kurulmadan yazılan alan ve hacim formülleri çoğu zaman yanlış ölçülerle doldurulur.

Bir dikdörtgenin kenarları a ve b olsun.

Dikdörtgen a kenarı etrafında döndürülürse a yüksekliğe dönüşür, b ise yarıçap olur.

Aynı dikdörtgen b kenarı etrafında döndürülürse bu kez b yükseklik, a yarıçap gibi çalışır.

İki durumda oluşan silindirlerin hacimleri genellikle eşit değildir; çünkü hacimde yarıçapın karesi vardır.

Örneğin uzun kenarı yarıçap yapmak, hacmi kısa kenarı yarıçap yapmaya göre çok daha fazla büyütebilir.

Bu yüzden dönel silindir sorularında ilk işlem formül seçmek değil, hangi doğrunun eksen olduğunu işaretlemektir.

Dönel silindirin hacim formülü dik silindirle aynıdır.

Taban dairesinin alanı pi r kare, yükseklik h olduğundan hacim pi r kare h olur.

Burada r, dönen şeklin eksenden uzaklığıdır; h ise eksen boyunca uzanan uzunluktur.

Bir dikdörtgenin eksene komşu kenarı dönme sırasında çember çizmez, yalnız yükseklik doğrultusunu verir.

Eksenden uzak kenarın her noktası ise taban çevresine karşılık gelen dairesel yolu oluşturur.

Bu hareketi gözünde canlandırmak, hangi uzunluğun kare alınacağını belirginleştirir.

Yanal alan da silindir açınımı üzerinden anlaşılır.

Dönme tamamlandığında yan yüzey açılırsa bir dikdörtgen elde edilir.

Bu dikdörtgenin bir kenarı yüksekliğe, diğer kenarı taban çevresine eşittir.

Taban çevresi iki pi r olduğundan yanal alan iki pi r h olur.

Eğer kapalı silindir isteniyorsa alt ve üst daire tabanları da eklenir; tüm alan iki pi r h artı iki pi r kare olur.

Açık yüzey, kaplama, etiket veya yalnız yan yüzey gibi ifadelerde tabanların eklenmemesi gerekebilir.

Dönel silindir de sonuçta dik silindirdir, fakat ölçüler dönme bilgisinden çıkarılır.

Açınım ile dönme arasında ters bir ilişki kurulabilir.

Dönme hareketi bir dikdörtgenden silindir üretir; açınım ise silindiri yeniden iki daire ve bir dikdörtgene ayırır.

Eğer soruda yan yüzeyin açınımı verilmişse açınımdaki dikdörtgenin çevreye karşılık gelen kenarı iki pi r olarak okunur.

Diğer kenar yükseklik olur.

Bu bilgi özellikle yan yüzey alanı veya yarıçap sorularında kullanılır.

Dikdörtgenin hangi kenarının çevre, hangisinin yükseklik olduğunu anlamadan iki uzunluğu yer değiştirmek, hacimde ve tüm alanda farklı sonuç verir.

Dönel silindir sorularında kare de sık kullanılır.

Kare bir kenarı etrafında döndürülürse oluşan silindirde yarıçap ve yükseklik eşit olur.

Bu durumda r ile h aynı sayı olsa bile rolleri karıştırmamak gerekir; hacim pi a küp, yanal alan iki pi a kare olur.

Kare dışındaki dikdörtgende ise eksene paralel uzunluk ve eksene dik uzaklık farklıdır.

Soruda kısa kenar etrafında döndürülmüştür veya uzun kenar etrafında döndürülmüştür gibi ifadeler sonuç için belirleyicidir.

Yalnız dikdörtgen ölçülerini görmek yeterli değildir; döndürme bilgisi okunmalıdır.

Bazı yorumlarda dönme ekseni şeklin kenarı değil, şeklin dışında veya içinde başka bir doğru olabilir.

Temel düzeyde çoğunlukla kenar etrafında döndürme beklenir; ancak eksen dışarıdaysa içi boş veya daha büyük yarıçaplı yapılar düşünülebilir.

Böyle bir durumda eksene en yakın ve en uzak noktaların uzaklıkları farklı daireler oluşturur.

Kaynak düzeyinin ana beklentisi, dik silindir formüllerini bilmek ve tabanı daire olan prizma mantığını kullanmaktır.

Daha karmaşık dönel cisimlerde bile güvenli başlangıç, eksene olan dik uzaklığı yarıçap olarak yorumlamaktır.

Karşılaştırma soruları dönel silindirde daha da hassastır.

Aynı dikdörtgenin iki farklı kenar etrafında döndürülmesiyle oluşan silindirlerin hacimlerini kıyaslarken yalnız yüksekliklerin yer değiştirdiğini söylemek yetmez.

Bir durumda yarıçap a, yükseklik b iken diğerinde yarıçap b, yükseklik a olabilir.

Hacimler pi a kare b ve pi b kare a biçiminde karşılaştırılır.

Ortak pi ve ortak ab çarpanı sadeleştiğinde kalan oran a ile b olur.

Bu sonuç, yarıçapın kareli etkisini görmenin kısa yoludur.

Sınavda dönel silindir için en güvenli kontrol cümlesi şudur: eksen yüksekliği verir, eksene uzaklık yarıçapı verir.

Bundan sonra silindirin standart formülleri uygulanır.

Hacim isteniyorsa pi r kare h, yanal alan isteniyorsa iki pi r h, kapalı tüm alan isteniyorsa iki taban alanı eklenir.

Çap verilmişse yarıçap yarıya indirilir; açınım verilmişse çevre kenarı iki pi r olarak çözülür.

Böylece dönme anlatımı, soyut bir üç boyutlu şekil olmaktan çıkar ve ölçüleri düzenli biçimde seçilen bir dik silindir problemine dönüşür.

Dönel silindir, hacim karşılaştırmalarında aynı alanlı dikdörtgenlerin farklı sonuçlar doğurabileceğini de gösterir.

Dikdörtgenin alanı a çarpı b olsa bile hangi kenarın eksen olduğu hacmi değiştirir; çünkü dönen uzaklık yarıçap olur ve kareli terime girer.

Bu nedenle alanı aynı olan iki dikdörtgen döndürüldüğünde oluşan silindirlerin hacimlerini yalnız başlangıç alanlarına bakarak eş saymak doğru değildir.

Eksen bilgisi, başlangıç şeklinin ölçüleri kadar temel bir veridir.

Bir doğru parçası, eksen etrafında döndüğünde eksene uzaklığı sabitse dairesel bir yüzey izi oluşturur.

Dikdörtgenin iç bölgesi döndüğünde bu izler birleşerek dolu silindir hacmini verir.

Eksen üzerindeki noktaların yarıçapı sıfırdır; eksenden uzak kenar ise en büyük yarıçapı belirler.

Bu gözlem, neden kenar etrafında döndürmede boşluk kalmadığını açıklar.

Eğer şekil eksenden ayrı bir yerde dönseydi iç ve dış yarıçaplar ortaya çıkabilirdi.

Temel sorularda böyle bir ayrıntı verilmedikçe oluşan cisim tek yarıçaplı, dolu ve dik silindir kabul edilir.