Küp Konu Anlatımı

Küp, dikdörtgenler prizmasının bütün ayrıtları eşit olan özel durumudur.

Bu cümle, konunun hem tanımı hem de çözüm anahtarıdır.

Dikdörtgenler prizmasında üç farklı ayrıt a, b ve c olabilirken küpte bu üç uzunluğun hepsi aynı değerdedir.

Bu ortak uzunluğa genellikle a denir.

Küpün altı yüzü vardır ve bu yüzlerin tamamı a kenarlı karedir.

Karşılıklı yüzler eş olduğu gibi komşu yüzlerin alanları da aynıdır.

Bu yüzden küpte karmaşık görünen çok sayıda soru, tek bir ayrıt uzunluğunu bulmaya indirgenir.

Hacim, küpte taban alanı çarpı yükseklik kuralından gelir.

Taban kare olduğundan alanı a karedir; yükseklik de a olduğu için hacim a küp olur.

Bir soruda hacim verilip ayrıt istenirse yapılacak işlem küpkök almaktır.

Örneğin hacim 64 birim küp ise a değeri 4 kabul edilir.

Burada hacimde üçüncü kuvvet bulunduğu için uzunluk değişimleri güçlü etki yapar.

Ayrıt iki katına çıkarsa hacim sekiz katına çıkar; bu ayrıntı oran sorularında doğrudan sonucu belirler.

Alan hesabında her yüzün kare olması büyük kolaylık sağlar.

Bir yüzün alanı a kare olduğuna göre tüm yüzey alanı altı tane a karenin toplamıdır.

Yanal alan denirse alt ve üst tabanlar dışarıda bırakılır, geriye dört yan kare kalır ve sonuç dört a kare olur.

Üstü açık küp biçimli kutu sorularında ise beş yüz hesaba katılır.

Boyama, kaplama veya kartondan kutu yapma ifadeleri kullanıldığında hangi yüzlerin dahil edildiği dikkatle okunmalıdır.

Her defasında aynı formülü yazmak yerine yüz sayısını belirlemek daha güvenli bir yoldur.

Küpün ayrıt toplamı, alanla karıştırılmaması gereken başka bir büyüklüktür.

Küpte on iki ayrıt vardır ve her biri a uzunluğundadır; tel uzunluğu veya iskelet sorularında toplam 12a olur.

Yüz sayısı altı, ayrıt sayısı on iki, köşe sayısı sekizdir.

Bu sayılar doğrudan ezber gibi görünse de küpün açınım, kesme ve boyama sorularında işe yarar.

Bir küp küçük eş küplere ayrıldığında dışarıda kalan yüzleri saymak için köşe, ayrıt ve yüz konumları ayrı ayrı düşünülür.

Köşegenler küpte en çok karıştırılan bölümdür.

Yüzey köşegeni, bir kare yüzün içindeki köşegendir.

Karenin iki dik kenarı a ve a olduğundan Pisagor sonucu karekök içinde iki a kare elde edilir; bu da a kök iki olarak yazılır.

Cisim köşegeni ise bir köşeden başlayıp küpün içinden karşı köşeye giden en uzun doğrusal parçadır.

Üç dik doğrultu kullanıldığı için karekök içinde a kare artı a kare artı a kare bulunur ve sonuç a kök üç olur.

Soru metni yalnız köşegen diyorsa çizime veya verilen noktaların konumuna bakmadan karar verilmemelidir.

Yüzey köşegeni ile cisim köşegeninin kurulumu farklıdır.

Yüzey köşegeninde yalnız bir kare yüzün içinde kalırsın; iki boyut yeterlidir.

Cisim köşegeninde önce bir yüzey veya taban köşegeni bulunur, sonra bu uzunluk üçüncü doğrultudaki ayrıtla birlikte yeni bir dik üçgen oluşturur.

Böyle düşünmek formülü ezberlemekten daha dayanıklıdır.

Özellikle bir köşeden karşı yüzün orta noktasına, bir ayrıtın orta noktasına veya başka bir özel noktaya giden uzunluk sorulduğunda hazır a kök üç formülü çoğu zaman doğrudan uygulanmaz.

Önce doğru dik üçgen seçilir.

Küp sorularında verilen bilgi bazen ayrıt değil, alan ya da köşegendir.

Tüm alan 150 ise altı a kare 150 denir ve a kare 25, a ise 5 bulunur.

Yanal alan 100 ise dört a kare 100 olur ve yine ayrıt buradan çıkar.

Yüzey köşegeni 6 kök iki verilmişse a değeri 6 olur; cisim köşegeni 6 kök üç verilmişse de a değeri 6 olur.

Kök içeren uzunluklarda katsayıyı ayrıtla eşleştirmek işlem süresini azaltır, fakat hangi köşegenin verildiğinden emin olmak şarttır.

Açınım soruları küpün eş kare yapısını düzlemde okumayı ister.

Altı eş kare farklı biçimlerde yan yana gelebilir; fakat her altılı diziliş küp açınımı değildir.

Katlandığında iki yüz üst üste gelmemeli, boşluk kalmamalıdır.

Karşılıklı yüzlerin nerede olacağını kestirmek için bir kareyi taban gibi seçip etrafına bağlanan kareleri zihinde kaldırmak gerekir.

Sayı yazılı yüzler, zar düzenleri veya karşı yüz toplamı sorularında bu katlama düşüncesi özellikle önemlidir.

Küpte tüm yüzler eş olduğundan görsel büyüklük değil, bağlantı ilişkisi belirleyicidir.

Kesme ve boyama sorularında küp, sayma becerisiyle birleşir.

Bir büyük küp eş küçük küplere ayrılıp dış yüzeyi boyanmışsa köşedeki küçük küplerin üç yüzü, ayrıt üzerinde köşe olmayanların iki yüzü, yüz ortasındakilerin bir yüzü boyalıdır.

İçte kalan küçük küpler boyasızdır.

Bu tür sorular doğrudan kaynak formüllerinden bağımsız görünse de küpün yüz, ayrıt ve köşe düzenine dayanır.

Her küçük küpün konumu, ana küpün dış yüzeyleriyle kaç kez temas ettiğine göre değerlendirilir.

Küpü çözerken en sağlam sıra şöyledir: önce verilen niceliği ayrıta çevir, sonra istenen büyüklüğün alan mı, hacim mi, ayrıt toplamı mı, yüzey köşegeni mi, cisim köşegeni mi olduğunu ayır.

Küp özel bir şekil olduğu için tüm ayrıtlar eşittir, fakat bu kolaylık düşünmeden işlem yapma riski doğurur. a kare alanı, a küp hacmi, a kök iki yüzey köşegenini, a kök üç cisim köşegenini temsil eder.

Bu etiketler doğru yerleştirildiğinde küp soruları kısa, düzenli ve kontrol edilebilir hale gelir.

Küpün özel yapısı simetri sorularında da kullanılır.

Bir köşeden çıkan üç ayrıt birbirine diktir ve eş uzunluktadır; bu nedenle küp içinde kurulan birçok üçgen ikizkenar dik üçgen veya üç boyutlu Pisagor düzenine dönüşür.

Bir yüzün merkezi, bir ayrıtın orta noktası veya küpün merkezi verilirse uzunluklar çoğunlukla a bölü iki, a kök iki bölü iki veya a kök üç bölü iki gibi yarım köşegenlerle ifade edilir.

Küpün merkezi tüm köşelere eş uzaklıktadır; bu uzaklık cisim köşegeninin yarısıdır.

Bu bilgiler, doğrudan formül ezberinden çok koordinat mantığıyla da doğrulanabilir.

Ayrıca küp ile kare dik prizma aynı şey değildir.