Silindir Konu Anlatımı

Silindir, katı cisimlerde daire bilgisinin prizma mantığıyla birleştiği şekildir.

Prizmada alt ve üst tabanlar eş ve paralel olur; silindirde bu tabanların şekli dairedir.

Dik silindirde taban merkezlerini birleştiren doğru taban düzlemlerine diktir ve bu uzunluk yükseklik olarak kullanılır.

Taban yarıçapı r, yükseklik h ile gösterildiğinde temel işlemler dairenin alanı ve çevresi üzerinden kurulur.

Bu nedenle silindir sorusuna başlamadan önce verilen uzunlukların yarıçap, çap, yükseklik veya çevre bilgisinden hangisi olduğunu ayırmak gerekir.

Hacim hesabı, dik prizmaların genel kuralından ayrılmaz.

Önce taban alanı bulunur, sonra yükseklikle çarpılır.

Silindirin tabanı daire olduğu için taban alanı pi r karedir; bu alan h ile çarpıldığında hacim pi r kare h olur.

Hacmin birimi uzunluğun küpü olarak düşünülür.

Yarıçapın karesi formülde bulunduğu için r değerindeki küçük bir hata sonucu büyütür.

Çap verilmişse r yerine çapın yarısı yazılmalıdır.

Çapı doğrudan yarıçap gibi kullanmak, özellikle hacimde dört kat farklı sonuçlara yol açabilir.

Hacim verilip başka bir ölçü istendiğinde formül ters çalıştırılır.

Örneğin hacim pi katsayılı verilmişse pi sembolü iki tarafta sadeleşebilir; sonra r kare veya h tek başına bırakılır.

Yarıçap bilinmiyorsa r kare elde edildikten sonra karekök alınması gerekir.

Yükseklik bilinmiyorsa taban alanına bölmek yeterlidir.

Burada işlem sırası kadar birim kontrolü de önemlidir.

Alan birim kare, hacim birim küp, yükseklik ve yarıçap ise birim uzunluk olarak kalır.

Birimler uyumsuz verilmişse önce aynı ölçü birimine çevrilmelidir.

Silindirin yüzey alanını anlamanın en sağlam yolu açınım düşüncesidir.

Kapalı bir dik silindir düzleme açıldığında iki eş daire ve bir dikdörtgen elde edilir.

Daireler alt ve üst tabanları temsil eder.

Dikdörtgen ise yan yüzeydir.

Bu yan dikdörtgenin yüksekliği silindirin yüksekliği h olur.

Diğer kenarı, silindir kapanırken dairenin çevresini sarar; bu yüzden uzunluğu iki pi r değerine eşittir.

Dikdörtgen alanı kenarların çarpımı olduğundan yanal alan iki pi r h olarak bulunur.

Tüm yüzey alanı istenirse yanal alana iki taban alanı eklenir.

Her taban pi r kare olduğundan iki taban toplamı iki pi r kare olur.

Böylece kapalı silindirin tüm alanı iki pi r h artı iki pi r kare şeklinde yazılır.

Bazı kaynaklarda bu ifade iki pi r parantezinde h artı r olarak da düzenlenir; iki yazım aynı anlamdadır.

Ancak yanal alan soruluyorsa tabanlar eklenmez.

Etiket kağıdı, borunun yan yüzeyi veya kutunun çevresini kaplama gibi ifadeler çoğunlukla yalnız yan yüzeyi anlatır.

Kapaklı kutu, kapalı teneke veya tüm yüzey denirse tabanlar hesaba katılır.

Açık kap soruları özel dikkat ister.

Üstü açık bir silindir kapta yan yüzey ve yalnız alt taban vardır; bu durumda alan iki pi r h artı pi r kare olur.

Altı olmayan bir kılıf ya da sadece silindirik etiket istenirse yalnız iki pi r h kullanılır.

İçi boş boru gibi yorumlarda dış yarıçap ve iç yarıçap ayrı verilebilir; temel KPSS düzeyinde çoğunlukla tek silindir beklenir, fakat metin iç ve dış yüzeyden söz ediyorsa hangi dairelerin dahil edildiği ayrıca belirlenmelidir.

Soru dili, formül seçiminden önce okunması gereken asıl bilgidir.

Silindirle ilgili karşılaştırma sorularında yarıçap ve yüksekliğin etkileri farklıdır.

Hacim pi r kare h olduğundan yarıçap iki katına çıkarsa taban alanı dört katına çıkar, yükseklik aynıysa hacim de dört kat olur.

Yükseklik iki katına çıkarsa hacim iki kat olur.

Yanal alan iki pi r h olduğundan r ve h birinci dereceden çarpanlardır; her ikisi iki katına çıkarsa yanal alan dört kat olur.

Tüm alanda hem iki pi r h hem iki pi r kare bulunduğu için değişim tek bir oranla acele yorumlanmamalıdır.

Silindirin içinde çizilen uzunluklarda daire çapı ve yükseklik çoğu zaman dik üçgen oluşturur.

Bir taban çevresinde karşılıklı iki nokta arasındaki en uzak taban içi uzaklık çaptır.

Bir nokta alt tabanda, karşılığı üst tabanda verilirse yükseklikle birlikte uzayda bir dik üçgen kurulabilir.

Fakat cisim köşegeni kavramı dikdörtgenler prizmasındaki kadar standart bir tek formül olarak kullanılmaz; silindirde hangi noktaların bağlandığına göre çap, yarıçap veya çevresel yay bilgisi değişebilir.

Bu nedenle çizilen doğru parçasının uçları mutlaka tanımlanmalıdır.

Silindir sorularında pi sayısının nasıl ele alındığı da sınav pratiği açısından önemlidir.

Sonuç seçeneklerinde pi bulunuyorsa pi sembolü korunur.

Pi değeri üç alınsın veya yirmi iki bölü yedi alınsın deniyorsa işlem sonunda verilen değer yerine yazılır.

Hacim veya alan verileri pi çarpanlı geldiyse pi genellikle sadeleşir ve aritmetik kolaylaşır.

Yarıçap ile çap ayrımı, pi sadeleştirme, tabanların eklenip eklenmeyeceği ve açık-kapalı yorumları kontrol edildiğinde silindir soruları daire alanı, daire çevresi ve dik prizma hacmi mantığının düzenli bir birleşimine dönüşür.

Silindir sorularında çevre ile alan bilgisinin birbirine karıştırılması da yaygındır.

Taban çevresi iki pi r uzunluktur ve yan yüzey açınımındaki dikdörtgenin bir kenarıdır; taban alanı ise pi r karedir ve hacimde kullanılır.

Soru çevreyi veriyorsa önce r bulunur, sonra gerekiyorsa alan veya hacme geçilir.

Soru taban alanını veriyorsa r kare bilgisi elde edilir; bu değer çevreye çevrilirken karekök alınması gerekebilir.

Çevre, alan ve hacim aynı pi harfini içerdiği için sembole bakarak karar verilmez; ifadenin birim türü ve soru dili okunur.

Kesit sorularında silindirin ekseninden geçen dik kesit bir dikdörtgen oluşturur.

Bu dikdörtgenin yatay kenarı çap, dikey kenarı yükseklik olarak düşünülebilir.

Eğer bu kesitin köşegeni verilirse çap ve yükseklik arasında Pisagor kurulabilir.

Tabana paralel kesit ise yine dairedir ve yarıçap değişmiyorsa tabanla eş olur.

Silindir eğik değilse yükseklik her noktada aynıdır; yan yüzey açınımında kullanılan dikdörtgen bu diklikten doğar.