Koni Konu Anlatımı

Koni, katı cisimler içinde piramit mantığının dairesel tabana uygulanmış halidir.

Piramitte tabanın köşeleri bir tepe noktasında birleşir; konide ise tabandaki dairenin çevresi tepe noktasına doğru kapanır.

Bu yüzden koni için tabanı daire olan piramit benzetmesi oldukça öğreticidir.

Dik konide tepe noktası taban merkezinin tam üzerindedir ve tepe noktasından taban düzlemine indirilen dikme taban merkezine düşer.

Bu dik uzaklık koninin yüksekliğidir.

Tabanın yarıçapı r, yükseklik h ve tepe noktasından taban çemberindeki bir noktaya giden eğik uzunluk ana doğru olarak düşünülür.

Konide hacim, aynı taban ve aynı yüksekliğe sahip silindirin üçte biridir.

Silindirin hacmi taban alanı çarpı yükseklik olduğundan koninin hacmi pi çarpı r kare çarpı h bölü üç olur.

Burada kullanılan h, taban merkezine inen dik yüksekliktir; ana doğru değildir.

Soru koninin hacmini istiyor ve ana doğruyu veriyorsa önce r, h ve ana doğru arasında dik üçgen kurulmalıdır.

Dik konide yarıçap taban düzleminde, yükseklik merkeze dik, ana doğru ise bu dik üçgenin hipotenüsüdür.

Bu nedenle ana doğru karesi, yükseklik karesi ile yarıçap karesinin toplamına eşittir.

Koninin yanal yüzeyi açıldığında bir daire dilimi ortaya çıkar.

Bu açınım, koni sorularını sıradan alan sorusundan ayıran en önemli noktadır.

Daire diliminin yarıçapı, koninin ana doğrusudur; çünkü tepe noktasından taban çemberine giden bütün eğik çizgiler açınımda aynı uzaklık olarak görünür.

Daire diliminin yay uzunluğu ise koninin taban çevresine eşittir.

Taban çemberinin çevresi iki pi r olduğundan, açınımdaki yayın uzunluğu da iki pi r olur.

Bu eşleştirme yapılmadan dilim alanı veya merkez açısı doğru bulunamaz.

Yanal alan formülü pi çarpı r çarpı ana doğru şeklindedir.

Bu formül, açınımdaki daire diliminin alanından gelir.

Daire diliminin tam daireye oranı yay uzunluklarıyla bağlantılıdır; yay, taban çevresine eşit olduğu için sonuç pi r l biçimine iner.

Burada l ana doğruyu gösterir.

Toplam yüzey alanı istenirse yanal alana taban alanı eklenir ve pi r l artı pi r kare elde edilir.

Fakat soru yalnızca yanal alan diyorsa taban alanı eklenmez.

KPSS sorularında yanal yüzey alanı, yüzey alanı ve hacim ifadeleri birbirinden ayrılmalıdır.

Ana doğru ile yüksekliğin karıştırılması koni konusunun en yaygın tuzağıdır.

Yükseklik tabana dik iner ve dairenin merkezinde biter.

Ana doğru taban çemberine gider ve eğiktir.

Dışarıdan bakıldığında koninin yan kenarı gibi görünen uzunluk ana doğrudur; hacimde doğrudan kullanılmaz, yanal alanda kullanılır.

Eğer soru yükseklik yerine ana doğru veriyorsa, yarıçapla birlikte Pisagor kullanılarak yükseklik bulunur.

Eğer yanal alan için yükseklik verilmişse yine ana doğruyu bulmak gerekir.

Bu yüzden konide her çözümden önce verilen uzunluğun hangi çizgi olduğu işaretlenmelidir.

Koni ile silindir karşılaştırması sınav için çok verimlidir.

Aynı taban yarıçapı ve aynı yüksekliğe sahip silindir ile koninin taban alanı aynıdır; fark hacimde ortaya çıkar.

Koni, silindirin üçte biri kadar hacim kaplar.

Buna karşılık yanal alan karşılaştırması aynı kadar basit değildir; silindirde yanal yüzey açıldığında dikdörtgen, konide daire dilimi oluşur.

Silindirin yanal alanında yükseklik kullanılırken konide ana doğru kullanılır.

Bu nedenle silindir formüllerini koniye taşırken yalnızca hacimde üçte bir ilişkisi güvenlidir; yanal alanda açınım mantığı ayrıca kurulmalıdır.

Konide kesit soruları da temel üçlü uzunluk üzerinden çözülür.

Tepe noktası, taban merkezi ve taban çemberindeki nokta bir dik üçgen oluşturur.

Bu üçgenin yatay kenarı yarıçap, dik kenarı yükseklik, hipotenüsü ana doğrudur.

Soruda çap verilmişse önce yarıçap alınır; çapı doğrudan formüle yazmak hatalıdır.

Taban alanı pi r kare, taban çevresi iki pi r, yanal alan pi r l ve hacim pi r kare h bölü üç olarak takip edilmelidir.

Birimlerin de kontrol edilmesi gerekir: hacim birim küp, alan birim kare, uzunluk birimdir.

Açınım sorularında merkez açısı ayrıca sorulabilir.

Açınımdaki daire diliminin yarıçapı l olduğundan tam dairenin çevresi iki pi l olur.

Daire diliminin yayı ise koninin taban çevresi olan iki pi r kadardır.

Bu yüzden dilimin merkez açısının tam açıya oranı r bölü l oranına denk gelir.

Aday burada l yerine h yazarsa merkez açısı yanlış çıkar.

Aynı şekilde açınımdaki daire diliminin alanı, koninin yanal alanıdır; taban dairesi bu dilimin içinde değildir, ayrıca eklenir.

Şekil üzerinde açınım verilmişse dilimin düz kenarlarını ana doğru, yayını taban çevresi olarak okumak gerekir.

Koni başlığında hukuki bir çerçeve bulunmaz; konu, geometrik tanım ve ölçme bağıntılarıyla sınırlıdır.

Koşul dik koni ise tepe noktasının taban merkezinin üzerinde olmasıdır.

Eğik konide bu basit dik üçgen ilişkisi aynı şekilde kurulamaz; KPSS temel düzeyinde çoğu soru dik koni üzerinden gelir.

İstisna gibi görünen durumlar genellikle soru dilindeki yüzey alanı ayrımıdır: yanal yüzey yalnızca eğri yüzeyi, toplam yüzey tabanla birlikte tüm dış yüzeyi anlatır.

Koni sorularında doğru yol, önce r, h ve l uzunluklarını ayırmak; sonra hacim için h, yanal alan için l, tabanla ilgili her işlem için r kullanmaktır.

Koni sorularında işlem sırası genellikle aynıdır.

Önce çap verilmişse yarıçap bulunur.

Sonra verilen eğik uzunluğun ana doğru mu, yoksa dik yüksekliğin kendisi mi olduğu anlaşılır.

Hacim isteniyorsa taban alanı için pi r kare ve dik yükseklik gerekir.

Yanal alan isteniyorsa taban yarıçapı ile ana doğru gerekir.

Toplam yüzey alanı isteniyorsa taban alanı da eklenir.

Açınım verilmişse dilimin yarıçapı ana doğru, yayı taban çevresi, alanı yanal alan olarak okunur.

Bu sıra korunursa formüller birbirine karışmaz.

Koninin piramitlerle ortak tarafı, hacmin aynı taban ve yükseklikteki dik cisme göre üçte bir olmasıdır.

Kare piramit kare prizmanın, koni silindirin üçte biri kadar hacim verir.

Fakat koninin dairesel tabanı nedeniyle çevre ve alan hesaplarında pi içeren bağıntılar kullanılır.