Küre Konu Anlatımı

Küre, katı cisimler içinde yarıçap fikrinin en doğrudan kullanıldığı şekildir.

Uzayda bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktaların oluşturduğu geometrik şekle küre denir.

Buradaki sabit nokta merkez, merkezden kürenin üzerindeki herhangi bir noktaya olan uzaklık da yarıçap olarak düşünülür.

Daire ve çember düzlemde, yani iki boyutlu ortamda eş uzaklık fikrini gösterir; küre ise aynı fikrin üç boyutlu uzaydaki karşılığıdır.

Bu nedenle küre sorularında taban seçme veya yükseklik arama alışkanlığı yerine, verilen bilginin yarıçapla nasıl ilişkili olduğuna bakılır.

Kürenin yüzey alanı 4 pi r kare formülüyle verilir.

Buradaki r kürenin yarıçapıdır.

Formül, kürenin dış yüzeyinin tamamını anlatır.

Küre için ayrı taban alanları veya yan yüzey parçaları düşünülmez; kaynakta da kürenin diğer katı cisimlerden farklı ele alınacağı, alan ve hacim formüllerinin doğrudan yarıçapa bağlı olduğu vurgulanır.

Alan sorusunda r biliniyorsa işlem doğrudan 4 pi çarpı r kare biçiminde yapılır.

Örneğin r değeri 3 ise yüzey alanı 4 pi çarpı 9, yani 36 pi olur.

Kürenin hacmi 4 pi r küp bölü 3 formülüyle bulunur.

Alan formülündeki r kare ile hacim formülündeki r küp karıştırılmamalıdır.

Hacim, kürenin kapladığı üç boyutlu bölgeyi anlatır; bu yüzden yarıçap üçüncü kuvvetle kullanılır. r değeri biliniyorsa önce r’nin küpü alınır, 4 pi ile çarpılır ve 3’e bölünür.

Formülün paydasındaki 3 işlem sırasında unutulursa sonuç üç kat büyük çıkar.

Bu nedenle küre hacmi yazılırken 4 pi r küp bölü 3 ifadesi bir bütün olarak düşünülmelidir.

Hacim verilip alan istendiğinde doğrudan alan formülüne geçilmez; önce yarıçap bulunur.

Kaynaktaki örnekte hacmi 36 pi birim küp olan bir kürenin alanı sorulur.

Hacim formülüne 36 pi eşitlenir: 4 pi r küp bölü 3 eşittir 36 pi.

Pi sadeleşir, işlem düzenlendiğinde r küp 27 bulunur ve buradan r değeri 3 olur.

Bundan sonra yüzey alanı isteniyorsa 4 pi r kare yazılır. r yerine 3 konulduğunda 4 pi çarpı 9 elde edilir ve alan 36 pi çıkar.

Bu örnek, hacimden alana geçişte ortak anahtarın yarıçap olduğunu gösterir.

Alan ve hacim formüllerinin ikisinde de r bulunduğu için, soruda görülen her sayı doğrudan r kabul edilmez.

Hacim 36 pi verildiğinde bu sayı yarıçap değildir; formülün tamamının sonucudur.

Yarıçapı bulmak için önce 4 pi r küp bölü 3 ifadesi 36 pi’ye eşitlenir.

Aynı dikkat alan sorularında da geçerlidir: 4 pi r kare sonucunu veren sayı, r’nin kendisi değil, r’nin karesiyle katsayının çarpımıdır.

Küre sorularında doğru başlangıç, verilen büyüklüğü formüldeki yerine koyup r’yi yalnız bırakmaktır.

Bu yüzden aynı sayısal veri, formüldeki konumuna göre farklı anlam taşır ve önce mutlaka isimlendirilmelidir.

Küre sorularında ikinci önemli fikir kesittir.

Küre bir düzlemle kesildiğinde oluşan bölge dairedir.

Kaynak bunu açık biçimde, küre nereden kesilirse kesilsin daire oluşacağı şeklinde anlatır.

Ancak soruda kesitte oluşan boyalı bölgenin alanı isteniyorsa, bu kürenin yüzey alanı değildir.

Artık düzlem üzerinde oluşan bir dairenin alanı sorulmaktadır.

Bu nedenle kullanılacak formül pi çarpı kesit yarıçapının karesidir.

Önce kesit dairesinin yarıçapı bulunur, sonra daire alanı hesaplanır.

Kesit dairesinin yarıçapı her zaman kürenin yarıçapı olarak alınamaz.

Merkezden geçen bir kesitte en büyük daire oluşur; fakat kaynakta verilen örnekte düzlem kürenin merkezinden 3 birim uzaktadır ve kürenin yarıçapı 6’dır.

Bu durumda kesit dairesinin yarıçapını bulmak için dik üçgen kurulur.

Kürenin merkezinden kesit düzlemine indirilen dik uzaklık 3 birimdir.

Kürenin merkezinden kesit dairesi üzerindeki bir noktaya çizilen doğru parçası kürenin yarıçapıdır ve 6 birimdir.

Kesit dairesinin aranan yarıçapı ise bu dik üçgenin diğer dik kenarıdır.

Bu dik üçgende hipotenüs kürenin yarıçapı olan 6’dır.

Dik kenarlardan biri merkez ile kesit düzlemi arasındaki 3 birimlik uzaklık, diğeri kesit dairesinin yarıçapıdır.

Pisagor bağıntısı bu yüzden r kesit kare artı 3’ün karesi eşittir 6’nın karesi biçiminde kurulur.

3’ün karesi 9, 6’nın karesi 36 olduğundan kesit yarıçapının karesi 27 olur.

Bu değer kök içinde 3 kök 3 olarak da yazılabilir.

Kesit alanı sorulduğunda ise asıl gereken çoğu zaman bu yarıçapın karesidir.

Kesit örneğinde Pisagor’un kullanılma nedeni, kürenin merkezinden kesit düzlemine indirilen uzaklığın düzleme dik olmasıdır.

Diklik varsa merkez, düzleme inen ayak noktası ve kesit dairesi üzerindeki bir nokta bir dik üçgen oluşturur.

Kürenin yarıçapı bu üçgende en uzun kenardır; çünkü merkezden yüzeye uzanır.

Kesit yarıçapı ise düzlemin içinde kalır.

Bu ayrım yapılmadan 6’yı doğrudan kesit yarıçapı sanmak, daire alanını 36 pi yazdırır; oysa merkezden 3 birim uzak kesitte alan 27 pi olur.

Kesit alanı, bulunan kesit yarıçapıyla pi r kare üzerinden hesaplanır.

Örnekte kesit yarıçapının karesi 27 olduğu için boyalı dairenin alanı 27 pi olur.

Burada kürenin yüzey alanı olan 4 pi r kare kullanılmaz; çünkü soru kürenin dış yüzeyini değil, kesme düzleminde görülen dairesel bölgeyi istemektedir.

Aynı şekilde hacim formülü de kullanılmaz; çünkü istenen üç boyutlu bir büyüklük değil, iki boyutlu bir kesit alanıdır.

Alan türünü ayırmak, küre kesiti sorularının temel güvenlik adımıdır.

Küre konusunda işlem sırası kaynak kapsamındaki bilgilerle netleşir.

Önce verilen büyüklüğün küre yarıçapı mı, hacim mi, yüzey alanı mı, yoksa kesit bilgisi mi olduğu belirlenir.

Yüzey alanı için 4 pi r kare, hacim için 4 pi r küp bölü 3 kullanılır.

Hacimden alan istenirse önce hacim formülünden r bulunur.