Doğrunun Denklemleri Konu Anlatımı

Doğrunun denklemi, koordinat düzleminde aynı doğrultu üzerinde bulunan noktaların ortak şartını ifade eder.

Bir nokta doğru üzerindeyse, o noktanın x ve y koordinatları doğru denklemine yazıldığında eşitlik sağlanır; sağlamıyorsa nokta o doğruya ait değildir.

Bu bakış, konunun hukuku gibi düşünülebilir: doğruyu belirleyen kural herkes için aynıdır ve doğru üzerindeki her nokta bu kurala uymak zorundadır.

Bu nedenle doğru denklemi kurarken yalnızca formül ezberlemek değil, verilen noktanın denklemi gerçekten sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek gerekir.

KPSS sorularında çoğu hata, denklem kurulduktan sonra bu basit kontrol yapılmadığı için ortaya çıkar.

En yaygın denklem biçimi y eşittir mx artı n biçimidir.

Buradaki m doğrunun eğimidir; x bir birim arttığında y değerinin nasıl değiştiğini gösterir. m pozitifse doğru soldan sağa yükselir, negatifse alçalır, sıfırsa yataydır. n ise x sıfır olduğunda y değeridir ve doğruyu y ekseninde kestiği noktayı verir.

Bu biçimde x katsayısını doğrudan eğim diye okumak için y yalnız bırakılmış olmalıdır.

Denklem ax artı by artı c eşittir sıfır halinde verilmişse önce y yalnız bırakılır veya eğim eksi a bölü b olarak dikkatle okunur.

Bir nokta ve eğim verildiğinde kullanılacak temel ilişki y eksi y1 eşittir m çarpı x eksi x1 biçimidir.

Burada x1 ve y1 doğru üzerinde olduğu bilinen noktanın koordinatlarıdır.

Bu bağıntı, herhangi bir noktanın bilinen noktaya göre düşey değişiminin yatay değişime oranının eğime eşit olduğunu söyler.

Pratikte aynı işlem y eşittir mx artı n yazıp verilen noktayı yerine koyarak da yapılabilir.

Eğim biliniyorsa m yerine yazılır, noktanın x ve y değerleri denkleme konur, n bulunur.

Sonra denklem sadeleştirilir ve istenirse genel biçime çevrilir.

İki nokta verildiğinde önce eğim hesaplanır.

Eğim, y değerlerinin farkının x değerlerinin farkına bölünmesiyle bulunur.

Noktalar A ve B olsun; y değişimi üstte, x değişimi altta olacak biçimde oran kurulur.

Sıralama aynı tutulduğu sürece hangi noktadan başlanacağı sonucu değiştirmez.

Eğim bulunduktan sonra noktalardan biri ve bu eğimle denklem kurulur.

Bu aşamada iki noktadan yalnızca birini kullanmak yeterlidir; çünkü eğim zaten iki noktanın aynı doğruyu nasıl belirlediğini taşır.

Yine de işlem sonunda diğer noktayı denkleme yazmak güçlü bir denetim sağlar.

Orijinden geçen doğrular ayrı bir kolaylık taşır.

Orijin, sıfır sıfır noktasıdır. y eşittir mx artı n denkleminde bu nokta yerine yazıldığında sol taraf sıfır olur, mx kısmı da sıfır olur; eşitliğin sağlanması için n değerinin sıfır olması gerekir.

Bu yüzden orijinden geçen doğrular y eşittir mx biçiminde yazılır.

Böyle bir doğru için sabit terim aramak gereksizdir; tek belirleyici eğimdir.

Eğer seçeneklerde sabit terimi bulunan bir denklem orijinden geçen doğru diye sunuluyorsa, nokta yerleştirme kontrolü hemen yanlışı gösterir.

Eksenlere paralel doğrular özel durumdur. x eksenine paralel doğru yataydır ve y değeri bütün noktalarda aynıdır; bu yüzden denklemi y eşittir k biçimindedir.

Bu doğrunun eğimi sıfırdır. y eksenine paralel doğru düşeydir ve x değeri bütün noktalarda sabittir; bu yüzden denklemi x eşittir k biçimindedir.

Düşey doğrunun eğimi tanımsızdır, dolayısıyla onu y eşittir mx artı n biçimine zorlamak yanlıştır.

Sınavda yatay ile düşeyin karıştırılması çok yaygındır: x eksenine paralel olan doğru y sabit, y eksenine paralel olan doğru x sabit verir.

Doğrunun eksenleri kestiği noktalar verildiğinde başka bir yöntem kullanılabilir. x eksenini a noktasında, y eksenini b noktasında kesen doğru için x bölü a artı y bölü b eşittir bir biçimi hızlıdır.

Ancak bu biçimde a ve b sıfır olmamalıdır; çünkü eksen kesişimlerinden biri orijinse özel durum oluşur.

Ayrıca x eksenini kesen noktada y sıfır, y eksenini kesen noktada x sıfırdır.

Öğrenci bazen kesişim noktasının koordinatlarını ters yazar; bu da doğruyu tamamen değiştirir.

Eksen kesişimli sorularda önce noktanın hangi eksene ait olduğu okunmalıdır.

Denklem biçimleri arasında geçiş yaparken eşdeğerlik korunur.

Bir doğrunun denklemi iki taraf aynı sıfır olmayan sayı ile çarpıldığında değişmez.

Terimler aynı tarafa toplanabilir, denklem genel biçime getirilebilir veya y yalnız bırakılabilir.

Bu yüzden seçeneklerde görünüşe aldanmamak gerekir.

Bulduğun denklem y eşittir iki x eksi üç ise, iki x eksi y eksi üç eşittir sıfır aynı doğruyu verir.

Buna karşılık işaretlerden biri yanlışsa doğru değişir.

Güvenli karşılaştırma için bulunan eğimle seçeneğin eğimi karşılaştırılır ve verilen noktalardan biri seçenekte denenir.

Doğru denklemi sorularının işlemsel sırası nettir: önce verilen bilgi türü belirlenir, sonra uygun denklem biçimi seçilir, ardından sonuç kontrol edilir.

Nokta ve eğim varsa nokta eğim ilişkisi, iki nokta varsa önce eğim, orijinden geçme varsa sabit terimsiz biçim, eksene paralellik varsa sabit x veya sabit y düşünülür.

İstisnalar bu karar ağacının önemli parçasıdır; özellikle düşey doğru eğim hesabında paydanın sıfır olmasıyla ortaya çıkar.

KPSS tuzağı genellikle uzun işlem değil, hangi bilginin hangi biçimi zorunlu kıldığını kaçırmaktır.

Doğru çözüm, cebir ile geometrik anlamı birlikte yürütür.

Doğru denklemlerinde karşılaştırma ve paralellik de temel çerçevenin parçasıdır.

Paralel doğruların eğimleri eşittir; birbirine dik doğrularda eğimler çarpımı uygun koşullarda eksi bir olur.

Bu bilgi, denklem kurma sorularında dolaylı veri olarak gelebilir.

Örneğin bir doğruya paralel olduğu söylenen başka bir doğrunun eğimi yeniden hesaplanmaz, aynı eğim alınır ve verilen nokta üzerinden denklem kurulur.

Diklik bilgisinde ise eğimin ters işaretli çarpmaya göre karşılığı düşünülür.

Burada düşey ve yatay doğru istisnası unutulmamalıdır; yatay doğruya dik olan doğru düşeydir ve denklemi x eşittir sabit biçimindedir.

Böylece doğru denklemi sorusu bazen doğrudan nokta-eğim değil, önce eğim ilişkisini çözme sorusu haline gelir.