Dikdörtgenler Prizması Konu Anlatımı

Dikdörtgenler prizması, prizmalar ailesinin en temel dik örneklerinden biridir.

Prizma fikrinde alt ve üst tabanlar birbirine eş ve paraleldir; dik prizma denildiğinde yan ayrıtlar bu tabanlara dik durur.

Dikdörtgenler prizmasında taban dikdörtgen seçildiği için yan yüzler de dikdörtgen olur ve cisim altı dikdörtgensel yüzle kapanır.

Bir köşeden çıkan üç ayrıtı a, b ve c diye adlandırmak yeterlidir; çünkü karşı taraftaki ayrıtlar bu uzunlukların eşleridir.

Bu yüzden konu, üç boyutlu bir şekli üç birbirine dik doğrultu üzerinden okumaya dayanır.

Hacim hesabı, bütün dik prizmalarda kullanılan taban alanı çarpı yükseklik düşüncesinin doğrudan uygulanmasıdır.

Taban olarak a ile b kenarlı dikdörtgen seçilirse taban alanı ab olur, bu tabana dik ayrıt c ise yükseklik olur ve hacim abc sonucunu verir.

Aynı cismi başka bir yüzü taban kabul ederek de düşünebilirsin; örneğin ac taban alınırsa yükseklik b olur.

Çarpım yine değişmez.

Sınavda verilen çizim yatık görünse bile soru dikdörtgenler prizması diyorsa kenarların üç temel doğrultuda dik olduğu varsayılır; ancak eğik prizma denmişse yan ayrıtı doğrudan yükseklik yapmak doğru olmaz.

Yüzey alanı, altı yüzün alanını düzenli biçimde toplamaktır. a ile b kenarlarından oluşan iki eş yüz, a ile c kenarlarından oluşan iki eş yüz ve b ile c kenarlarından oluşan iki eş yüz vardır.

Bu nedenle tüm alan iki çarpı ab artı iki çarpı ac artı iki çarpı bc biçimindedir; ortak iki alınırsa iki çarpı ab artı ac artı bc toplamı elde edilir.

Yanal alan ayrı sorulursa taban dışındaki dört yan yüz istenir.

Seçilen tabanın çevresi iki a artı iki b ise yanal alan bu çevrenin c ile çarpılmasıdır.

Buradaki işlem, bir kutunun yan şeridini açıp dikdörtgensel alan gibi düşünmeye benzer.

Alan sorularının tuzağı, hangi yüzlerin istendiğini okumadan otomatik formül yazmaktır.

Kapalı kutu, tüm yüzey alanı anlamına gelir ve iki taban dahil edilir.

Üstü açık kapta yalnız bir taban ve yan yüzler alınır.

Etiket, kaplama, boya veya dış yüzey gibi ifadelerde bazen tüm yüzler, bazen yalnız yan yüzler kastedilir.

Telden iskelet sorularında alan değil ayrıt toplamı aranır; a, b ve c uzunluklarının her birinden dörder tane bulunduğu için toplam dört a artı dört b artı dört c olur.

Bu ayrım, formül bilgisinden çok şeklin fiziksel olarak ne istediğini anlamayı gerektirir.

Köşegen konusu dikdörtgenler prizmasını diğer basit alan-hacim sorularından ayırır.

Yüzey köşegeni, bir yüzün içinde kalan dikdörtgen köşegenidir. a ve b kenarlı yüzdeki köşegen için Pisagor uygulanır ve karekök içinde a kare artı b kare yazılır. a ile c yüzünde veya b ile c yüzünde farklı yüzey köşegenleri çıkabilir; çünkü dikdörtgenler prizmasında üç ayrıtın eşit olması gerekmez.

Cisim köşegeni ise yüzeyde kalmaz, prizmanın içinden geçerek birbirine en uzak iki köşeyi bağlar.

Önce taban köşegeni bulunup sonra bu uzunluk yükseklikle birlikte ikinci bir dik üçgende kullanılır; sonuç karekök içinde a kare artı b kare artı c kare olur.

Soru metninde çizilen çapraz parçanın nerede durduğunu ayırmak gerekir.

Bir yüzün üzerinde çizilmişse yüzey köşegenidir; görünmeyen iç bölgeden karşı köşeye gidiyorsa cisim köşegenidir.

Bazı sorularda yalnız iki ayrıt ve yüzey köşegeni verilir, üçüncü ayrıt sorulur; bazılarında hacimle cisim köşegeni birlikte verilir.

Böyle durumlarda bilinmeyen uzunluğu hemen tek formüle sıkıştırmak yerine önce hangi dik üçgenlerin oluştuğunu görmek işlemi sadeleştirir.

Pisagor bağıntısı katı cismin kendisine değil, cismin içinde veya yüzünde seçilen dik üçgene uygulanır.

Oranlı ayrıt soruları KPSS tarzında sık karıştırılır.

Ayrıtlar iki, üç ve dört ile orantılı deniyorsa gerçek uzunluklar 2k, 3k ve 4k diye yazılır.

Hacim verilirse 24k küp değerinden k bulunur; yüzey alanı verilirse 2 çarpı 6k kare artı 8k kare artı 12k kare toplamı kullanılır. k bulunmadan 2, 3 ve 4 sayılarıyla doğrudan hacim veya köşegen sonucu vermek eksik işlem olur.

Ayrıca hacimde ölçek katsayısı üçüncü kuvvetle, alanda ikinci kuvvetle etkili olduğundan benzerlik sorularında uzunluk, alan ve hacim oranları ayrı değerlendirilmelidir.

Dikdörtgenler prizmasının açınımı da temel bir kontrol aracıdır.

Açınımda altı dikdörtgen düzleme yayılır; katlandığında karşılıklı yüzlerin eş ve paralel olması gerekir.

Bir kenarın hangi yüzlerle ortak olduğunu görmek, yapıştırma payı, boyama veya eksik yüz sorularında işe yarar.

Açınım üzerinden verilen bir soruda yan yana görünen iki dikdörtgenin ortak kenarı aynı uzunluğu temsil eder; bu ortaklık yanlış okunursa yüzey alanı da ayrıt toplamı da hatalı çıkar.

Özellikle farklı boyutlar aynı çizimde yakın görünebildiği için uzunluk etiketleri, şeklin görsel oranından daha güvenilir kabul edilmelidir.

Bu konudaki sağlam çözüm sırası önce cismin gerçekten dikdörtgenler prizması olduğunu belirlemek, sonra üç ana ayrıtı adlandırmak, ardından istenen büyüklüğün hacim, alan, yanal alan, ayrıt toplamı, yüzey köşegeni veya cisim köşegeni olduğunu ayırmaktır.

Hacim üç ayrıtın çarpımıdır; tüm alan üç yüz çiftinin toplamıdır; yanal alan seçilen tabanın çevresiyle yükseklikten gelir.

Köşegenlerde ise iki boyutlu yüz mü, üç boyutlu iç bağlantı mı sorulduğu belirlenir.

Bu ayrımlar yapıldığında soru uzun görünse bile işlem çoğu zaman birkaç dikdörtgen alanı ve bir veya iki Pisagor adımına iner.

Dikdörtgenler prizmasında işlem yaparken görünmeyen ayrıtları da şeklin parçası saymak gerekir.

Çizimlerde arka yüz çoğu zaman kesik çizgiyle veya hiç belirtilmeden verilir, fakat karşılıklı ayrıt eşitliği devam eder.

Bir yüzün alanı verilmişse o yüzü oluşturan iki ayrıtın çarpımı bilinir; bu bilgi tek başına üçüncü ayrıtı vermez.

Hacimle birlikte kullanıldığında eksik ayrıt bulunabilir.

Aynı şekilde yüzey alanı tek başına üç ayrıtı ayrı ayrı belirlemeyebilir; ek oran, köşegen veya hacim bilgisi gerekebilir.

Bu nedenle verilenlerin hangi bilinmeyenleri gerçekten belirlediği kontrol edilmelidir.

Ölçü dönüşümlerinde de dikkat gerekir.