Üçgende Kenarortay Teoremleri Konu Anlatımı

Kenarortay, bir üçgende herhangi bir kenarı iki eş parçaya ayıracak biçimde karşı köşeden çizilen doğru parçasıdır.

ABC üçgeninde BC kenarının orta noktası D ise A ile D birleştirildiğinde AD kenarortay olur.

Buradaki belirleyici bilgi, çizginin açıya değil kenara ait olmasıdır.

Kenarortay açıyı ikiye bölmek zorunda değildir; diklik de vermek zorunda değildir.

Onun doğrudan verdiği şey, değdiği kenarın iki eş parçaya ayrılmasıdır.

Bu nedenle soruda orta nokta işareti, eş uzunluk işareti veya bir kenarın iki eş parçaya bölündüğü bilgisi görülürse çizginin kenarortay olup olmadığı önce bu tanımla okunur.

Bir üçgende üç farklı kenarortay çizilebilir.

Her biri bir köşeden çıkar ve karşısındaki kenarın orta noktasına gider.

Bu üç kenarortay tek bir noktada kesişir; bu noktaya ağırlık merkezi denir.

Ağırlık merkezi verildiğinde, yalnızca şeklin ortasında duran bir nokta düşünülmez.

Bu noktanın asıl işi, kenarortaylar üzerinde oran kurdurmasıdır.

Bir soruda G ağırlık merkezi olarak verilmişse, G noktasından geçen ve köşeye ya da karşı kenarın orta noktasına uzanan doğru parçalarının kenarortayla ilişkisi aranır.

Çünkü ağırlık merkezi, üç kenarortayın ortak kesişim noktasıdır.

Ağırlık merkezinin en önemli uzunluk sonucu ikiye bir oranıdır.

Bir kenarortay üzerinde köşeden ağırlık merkezine kadar olan bölüm, ağırlık merkezinden kenarın orta noktasına kadar olan bölümün iki katıdır.

Başka bir deyişle oran köşe tarafında iki, kenar tarafında birdir.

AD kenarortayında G ağırlık merkeziyse AG, GD'nin iki katı olarak düşünülür.

GD bir birimse AG iki birimdir; bütün AD ise üç birimlik bir toplam gibi okunur.

Bu yüzden kaynakta kenarortay, ağırlık merkezi ve orta taban aynı şekil üzerinde birlikte verildiğinde köşeden kenara doğru üç, bir, iki düzeni özellikle vurgulanır.

Bu oranı kullanırken yön karıştırılmamalıdır.

Ağırlık merkezinin kenara yakın kalan parçası kısa, köşeye yakın kalan parçası uzundur.

Soruda kısa parçanın değeri verilirse köşe tarafı onun iki katı alınır; köşe tarafı verilirse kenar tarafı onun yarısıdır.

Bütün kenarortay isteniyorsa iki parça toplanır.

Örneğin kenar tarafındaki parça dört ise köşe tarafı sekiz, bütün kenarortay on iki olur.

Köşe tarafındaki parça on ise kenar tarafı beş, bütün uzunluk on beş olur.

Burada işlemden önce hangi parçanın köşeye, hangisinin kenara yakın olduğuna bakmak gerekir.

Ağırlık merkezi adı tek başına verildiğinde bile bu oran akla gelmelidir, çünkü noktanın kenarortay üzerindeki yeri rastgele değildir.

Kenarortay konusunun ikinci ana bağlantısı orta tabandır.

Bir üçgende iki kenarın orta noktaları birleştirildiğinde elde edilen doğru parçasına orta taban denir.

Örneğin AB ve AC kenarlarının orta noktaları F ve E ise FE orta tabandır.

Orta tabanın iki temel sonucu vardır: Üçüncü kenara paraleldir ve üçüncü kenarın yarısı uzunluğundadır.

FE, BC'ye paralel olur ve FE uzunluğu BC'nin yarısıdır.

Tersinden bakıldığında BC biliniyorsa orta taban yarısı, orta taban biliniyorsa karşı taban iki katı olarak bulunur.

Paralellik verisi de yalnızca yön bilgisi değildir; benzerlik ve uzunluk ilişkisi kurmaya kapı açar.

Orta taban, kenarortayla aynı şey değildir; fakat aynı şekil içinde birlikte çalışır.

Kenarortay köşeden karşı kenarın orta noktasına inerken, orta taban iki kenarın orta noktaları arasında kalır.

Bu ayrım şekli okumayı kolaylaştırır.

Çizgi köşeden çıkıyorsa ve karşı kenarı ikiye bölüyorsa kenarortaydır.

Çizgi iki orta noktayı birleştiriyorsa orta tabandır.

Birincisi ağırlık merkezi ve ikiye bir oranıyla, ikincisi paralellik ve yarım uzunlukla sonuç verir.

Soruda hem orta noktalar hem de ağırlık merkezi varsa, önce çizginin hangi tür çizgi olduğu seçilmelidir.

Aynı çizimin içinde D, E, F gibi orta noktalar verildiğinde, hangi ikisinin birleştirildiği ve hangi köşeden hangi orta noktaya gidildiği ayrı ayrı takip edilir.

Alan sonuçları da bu orta nokta düzeninden çıkar.

Üç kenarortayın tamamı çizildiğinde üçgen altı küçük üçgene ayrılır ve bu altı parçanın alanları birbirine eşittir.

Bu bilgi özellikle bütün alan verilip küçük parçalardan biri istendiğinde işe yarar; bütün alan altıya bölünür.

Tersine, küçük parçalardan biri verilirse bütün alan onun altı katıdır.

Bunun nedeni kaynakta sonuç olarak verilir: kenarortaylar tüm üçgeni altı eş alanlı parçaya böler.

Bu alan eşitliği uzunluk eşitliğiyle karıştırılmamalıdır; burada eşit olan küçük üçgenlerin alanlarıdır.

Uzunluk oranı ikiye bir olsa bile alan düzeni altı eş parça şeklinde ayrıca okunur.

Orta noktalar ikişer ikişer birleştirildiğinde de ayrı bir alan düzeni oluşur.

Üç kenarın orta noktaları birleştirildiğinde dört küçük üçgen ortaya çıkar ve bu dört üçgenin alanları birbirine eşit olur.

Böyle bir şekil içinde dışta kalan büyük parçalar ile içteki küçük parçalar birlikte sorulabilir.

Kaynak anlatımında, orta noktalar birleştirildikten sonra içte oluşan altı parçanın eşitliği ve dıştaki üçgenlerin her birinin küçük parçalardan birinin üç katı olması ayrıca vurgulanır.

Bu nedenle alan sorusunda yalnızca uzunluk oranına değil, çizilen orta tabanların oluşturduğu parça düzenine de dikkat edilir.

Kenarortayın önemli özel durumu dik üçgende görülür.

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay çizilirse, bu kenarortayın uzunluğu hipotenüs üzerinde ayırdığı iki parçanın uzunluklarına eşit olur.

Hipotenüs zaten orta noktadan iki eş parçaya ayrıldığı için üç eş uzunluk birlikte düşünülür: hipotenüsün iki yarısı ve dik köşeden bu orta noktaya çizilen kenarortay.

Kaynak bu ilişkiyi özel bir üçlü olarak öğretir.

Bir soruda dik üçgen ve hipotenüse inen kenarortay verilirse bu üç eşit uzunluk hemen aranır; ters yönde, kenarortayın ayırdığı parçalarla eşit olduğu söylenirse dik üçgen bilgisine gidilebilir.