Eşitsizlikler Konu Anlatımı

Eşitsizlik, bir ifadenin başka bir ifadeye eşit olmasından çok, ona göre küçük, büyük, küçük eşit veya büyük eşit durumda bulunmasını anlatır.

Bu nedenle sonuç çoğu zaman tek sayı değil, aralık olur.

Denklemlerde çözüm değeri yerine koyup eşitliği sağlamak yeterliyken, eşitsizliklerde bulunan bütün değerlerin sıralama şartına uyup uymadığı düşünülür.

Konunun temel çerçevesi sayı doğrusu düzenidir: sol taraf daha küçük, sağ taraf daha büyüktür; açık uç eşitliğin alınmadığını, kapalı uç eşitliğin dahil olduğunu gösterir.

KPSS sorularında bu çerçeve çoğu zaman tamsayı seçimi ve en büyük-en küçük değer bulma ile birleşir.

Toplama ve çıkarma eşitsizliklerde en güvenli işlemlerdir.

Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenirse veya her iki taraftan aynı sayı çıkarılırsa sıralama değişmez.

Örneğin x artı üç küçük yedi ise her iki taraftan üç çıkarıldığında x küçük dört elde edilir.

Burada yönün değişmemesinin sebebi, sayı doğrusundaki tüm değerlerin aynı miktarda kaymasıdır.

Pozitif sayıyla çarpma veya pozitif sayıya bölme de sıralamayı korur.

İki taraf ikiyle çarpılırsa küçük olan yine küçük, büyük olan yine büyük kalır.

Bu işlemler yapılırken eşitlik çizgisinin varlığı da korunur; küçük eşit, işlemden sonra yine küçük eşit kalır.

Negatif sayıyla çarpma veya bölme eşitsizliklerin en kritik istisnasıdır.

Negatif çarpan, sayı doğrusundaki yönü tersine çevirir.

Beş, ikiden büyüktür; ikisini de eksi birle çarptığında eksi beş, eksi ikiden küçük olur.

Bu yüzden eşitsizliğin iki tarafı negatif bir sayıyla çarpılır veya bölünürse işaret yön değiştirmek zorundadır.

Bileşik eşitsizliklerde de aynı kural geçerlidir.

Tüm taraflar eksiyle çarpıldığında uçların yerleri ve işaret yönleri dikkatle düzenlenir.

Sınavda öğrencinin yaptığı yaygın hata, katsayıyı pozitife çevirip işareti eski yönünde bırakmaktır.

Aralık ve tamsayı sorularında ilk yapılacak iş, hangi sayı kümesinden değer istendiğini okumaktır.

Reel değer istenirse aralık içindeki sonsuz sayı kabul edilebilir; tamsayı, doğal sayı veya pozitif tam sayı istenirse yalnızca o kümeye ait değerler seçilir.

Açık sınırlar alınmaz, kapalı sınırlar alınır.

Örneğin eksi üç küçük x küçük dört ise x tamsayıları eksi iki ile üç arasındadır; eksi üç ve dört dahil değildir.

Eksi üç küçük eşit x küçük dört olsaydı eksi üç dahil edilir, dört yine alınmazdı.

Değer verme mantığı bu noktada başlar: sınavda çoğu soru tüm aralığı değil, bu aralıktan seçilecek uygun değerleri sorar.

Birden fazla değişkenli eşitsizliklerde istenen ifadeye göre değer seçilir. x ve y için ayrı aralıklar verilmişse ve x artı y en büyük isteniyorsa, genellikle x ve y için alınabilecek en büyük değerler seçilir.

En küçük isteniyorsa uygun en küçük değerler alınır.

Ancak katsayılar devreye girince karar otomatikleşmez.

İfade üç x eksi iki y ise en büyük değer için x büyük seçilirken, eksi iki y kısmının büyük olması için y küçük seçilmelidir.

Çünkü negatif katsayı, y büyüdükçe toplamı azaltır.

Bu durum, negatifle çarpma kuralının değer seçme sorularındaki karşılığıdır.

Pozitif ve negatif tamsayı şartları da sonucu değiştirir.

Bir değişken için aralık eksi değerler içeriyor olabilir; fakat soru pozitif tam sayı istiyorsa sıfır ve negatifler elenir.

Negatif tam sayı isteniyorsa pozitifler ve sıfır elenir.

Sıfır ne pozitif ne de negatiftir; bu ayrım KPSS’de sıkça yoklanır.

Bir aralıkta hem negatif hem pozitif değerler varsa, çarpım veya bölüm sorularında işaret analizi yapılmalıdır.

En büyük çarpım her zaman en büyük görünen sayıları seçmekle çıkmayabilir; iki negatif sayının çarpımı pozitif olacağı için seçenekler karşılaştırılmalıdır.

Ters alma ve bölme içeren eşitsizliklerde sıfır özel engeldir.

Bir aralığın içinde sıfır varsa, ifadenin tersi her yerde tanımlı olmayabilir.

Pozitif aralıkta ters alma sıralamayı ters çevirir; küçük pozitif sayının tersi daha büyüktür.

Negatif aralıkta da dikkatli karşılaştırma gerekir; sayıların işareti korunur ama büyüklük algısı değişebilir.

Bu nedenle kesirli eşitsizliklerde paydanın sıfır yapılıp yapılmadığı önce kontrol edilir.

Tamsayı değer verme yaklaşımı kesirli durumlarda da çalışır: uygun değerler tek tek denenebilir, fakat tanımsız değerler asla çözüme katılmaz.

Kuvvet alma işlemlerinde kuvvetin tek veya çift olması önemlidir.

Tek kuvvetlerde sayıların işareti korunur ve sıralama daha doğal ilerler.

Çift kuvvetlerde negatif değerler pozitifleşir; bu yüzden aralık sıfırı içeriyorsa en küçük kare değeri sıfır olabilir.

Aralık tamamen pozitifse uçların karesi sıralamayı korur, tamamen negatifse mutlak değeri büyük olanın karesi daha büyük olur.

Bu mantık özellikle x kare ifadesinin en küçük veya en büyük değeri sorulduğunda kullanılır.

Aday yalnızca uçları kare alırsa, aralık içinde sıfır bulunup bulunmadığını kaçırabilir.

Eşitsizlik sorularında prosedür, denklemlere göre daha kontrollü ilerlemeyi gerektirir.

Önce eşitsizliğin türü ve sayı kümesi okunur.

Sonra bilinmeyen yalnız bırakılırken negatif çarpma veya bölme yapılıp yapılmadığı denetlenir.

Ardından aralık açık mı kapalı mı belirlenir.

Eğer soru belirli bir ifadeye en büyük ya da en küçük değer istiyorsa, değişkenlerin hangi uçlardan seçileceği katsayıların işaretine göre kararlaştırılır.

Birden çok değişken varsa her değişken bağımsız mı, aralarında ek şart var mı kontrol edilir.

Bağımsız olmayan değişkenlerde yalnız uç değerleri seçmek yanlış olabilir.

Sınav tuzakları çoğunlukla küçük ayrıntılardan gelir.

Açık uçtaki sayıyı tamsayı listesine eklemek, sıfırı pozitif saymak, negatif katsayılı ifadede en büyük değeri yanlış uçtan seçmek, eksiyle bölünce işareti çevirmemek ve paydanın sıfır olduğu değeri çözümde bırakmak en yaygın hatalardır.

Eşitsizliği sağlamanın en pratik kontrolü, bulunan aralıktan bir değer seçip ilk ifadede denemektir.

Uç değerler de ayrıca denenmelidir; özellikle eşitlik olup olmadığı bu yolla fark edilir.

Başarılı çözüm, işlem hızından çok aralık, işaret ve değer seçimi disiplinine dayanır.