Yamuk-Deltoid Konu Anlatımı

Yamuk, karşılıklı kenarlarından bir çifti paralel olan dörtgendir.

Bu paralel kenarlar taban olarak adlandırılır; biri kısa, diğeri uzun olabilir.

Yamuğu paralelkenardan ayıran temel nokta, yalnız bir çift paralel kenarın yeterli olmasıdır.

Paralelkenar, dikdörtgen, eşkenar dörtgen ve karede iki çift paralel kenar bulunduğu için yamukla bazı ortak açı ilişkileri görülebilir; fakat yamukta yan kenarlar hakkında kendiliğinden eşitlik kabul edilmez.

Paralel tabanları kesen yan kenar üzerinde aynı yanda kalan iç açılar 180 dereceye tamamlanır.

Bu yüzden bir taban açısı verilirse aynı yan kenarın diğer ucundaki açı tamamlayan açıdan bulunabilir.

Karşılıklı açıların eşit olduğu sonucuna ise genel yamukta gidilmez.

Soru çözümüne başlarken hangi iki kenarın paralel olduğu işaretlenmeli, açıların hangi kesen üzerinde bulunduğu belirlenmelidir.

Paralellik dışında fazladan özellik ancak ikizkenar yamuk, dik yamuk veya özel bir çizim verilmişse kullanılabilir.

Yamuğun orta tabanı, yan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasıdır.

Bu parça paralel tabanlara paraleldir ve uzunluğu iki tabanın aritmetik ortalamasıdır.

Üst taban a, alt taban b ise orta taban a artı b bölü iki olur.

Kaynaktaki vurgu, orta tabanın yalnız ad olarak değil, işlem kısaltması olarak da önemli olduğudur.

Alan formülünde tabanların toplamının yarısı zaten orta taban uzunluğudur.

Bu nedenle yamuğun alanı orta taban çarpı yükseklik biçiminde okunabilir.

Orta taban verilmişse ayrı ayrı iki tabanı bulmadan alan hesaplanabilir.

Tersine alan ve yükseklik verilirse orta taban bulunur; sonra tabanlardan biri biliniyorsa diğeri çıkarılır.

Burada yükseklik, paralel tabanlar arasındaki dik uzaklıktır.

Yan kenar eğikse uzunluğu yükseklik yerine yazılamaz.

Gerekirse köşeden tabana dikme indirilerek dik üçgen oluşturulur ve eksik yükseklik Pisagorla bulunur.

Yamukta köşegenler, paralelkenardaki kadar kesin sonuç vermez.

Genel bir yamukta köşegenler birbirini ortalamaz ve eşit olmak zorunda değildir.

Ancak köşegenler çizildiğinde tabanlar, orta taban ve üçgen benzerlikleri birlikte kullanılabilir.

Orta tabanla köşegenlerin oluşturduğu küçük parçalar, tabanların toplamı veya farkı üzerinden yorumlanabilir.

Böyle sorularda şeklin içine bakarken tek bir büyük dörtgen yerine, köşegenlerin ayırdığı üçgenleri görmek gerekir.

Paralel doğrular arasında kurulan benzer üçgenler, özellikle orta noktalar verildiğinde uzunlukları oranlamayı sağlar.

Ayrıca bir köşegen yamuğu iki üçgene böldüğünde bu üçgenlerin yükseklikleri aynı taban doğruları arasına bağlı olabilir; alan karşılaştırması yapılacaksa ortak yükseklik veya ortak taban aranır.

Fakat bu alan ilişkileri özel kanıtla veya çizimle çıkarılır, otomatik köşegen eşitliği gibi ezberlenmez.

Genel yamukta en sağlam bilgi, taban paralelliği ve tabanlar arasındaki yüksekliktir.

İkizkenar yamuk, yan kenarları eşit olan özel yamuktur.

Bu ek koşul geldiğinde taban açıları eşit olur ve köşegenler eşit uzunlukta çıkar.

İkizkenar yamuk sorularında yükseklikler indirildiğinde çoğu kez iki yanda eş dik üçgen oluşur; uzun taban ile kısa taban arasındaki fark bu iki üçgene paylaştırılır.

Böylece yan kenar, yükseklik ve taban farkının yarısı arasında Pisagor bağıntısı kurulabilir.

Genel yamukta kullanılamayan köşegen eşitliği, sadece ikizkenar bilgiyle güvenli hale gelir.

Dik yamukta ise yan kenarlardan biri tabanlara diktir ve yükseklik doğrudan o kenar olabilir.

Bu da ayrı bir özel durumdur.

Sınav tuzağı, her yamuğu ikizkenar gibi düşünmektir.

Şekil dengeli çizilmiş görünse bile yan kenar eşitliği, taban açı eşitliği veya köşegen eşitliği verilmedikçe yalnız paralel taban bilgisiyle ilerlenmelidir.

Deltoid, komşu iki kenar çifti eşit olan dörtgendir.

Günlük dilde uçurtma biçimine benzetilir; fakat matematiksel ayırt edici bilgi komşu eş kenarlardır.

Bir çift karşı kenarın paralel olması gerekmez.

Deltoidde eş kenarların birleştiği köşeleri birleştiren köşegen simetri ekseni gibi çalışır.

Bu köşegen, diğer köşegeni dik keser ve uygun durumda onu iki eş parçaya ayırır; ayrıca üzerinde bulunduğu köşe açılarını ikiye böler.

Köşegenler çizildiğinde deltoidin içinde dik üçgenler ortaya çıkar.

Uzunluk sorularında yarım köşegenler, eş kenarlar ve Pisagor birlikte kullanılabilir.

Açı sorularında ise simetri ekseni olan köşegenin açıortay olduğu bilgisi önemlidir.

Ancak deltoidde iki köşegenin de aynı anda birbirini ortaladığı düşünülmez; bu paralelkenar ailesine ait bir beklentidir.

Deltoidde güçlü olan taraf, dik köşegen ve komşu eş kenar düzenidir.

Deltoidin alanı, köşegenler çarpımının yarısıdır.

Bu formül, köşegenlerin dik kesişmesiyle oluşan dik üçgenlerin alanlarının toplamından gelir.

Köşegenlerden biri bütünüyle, diğeri parçalı verilmiş olabilir; önce parçaların toplamıyla tam köşegen bulunmalı, sonra çarpımın yarısı alınmalıdır.

Eğer yalnız kenar uzunlukları verilmişse alan için doğrudan köşegen formülü kullanılamaz; önce dik üçgenlerden eksik köşegen parçası çıkarılmalıdır.

Yamukla deltoid arasındaki karşılaştırma da burada belirginleşir.

Yamukta alan paralel tabanların ortalaması ile yüksekliğe dayanır; deltoidde alan dik köşegenlere dayanır.

Yamukta anahtar paralellik ve tabandır, deltoidde anahtar komşu eş kenar ve simetri köşegenidir.

Soruda önce dörtgenin türünü kesinleştirmek, sonra o türe ait alan yolunu seçmek gerekir.

Bu başlıktaki sınav soruları çoğu zaman tek formül ezberi değil, özel durum seçimi ister.

Yamukta paralel tabanlar varsa aynı yandaki iç açıların toplamını, orta taban varsa tabanların aritmetik ortalamasını, alan varsa yükseklikle ilişkiyi düşünmek gerekir.

İkizkenar yamuk ibaresi gelirse taban açıları ve köşegen eşitliği açılır; dik yamuk ibaresi gelirse yükseklik kenarın üzerinde olabilir.

Deltoidde komşu eş kenarlar verilmişse simetri ekseni olan köşegen aranır, diklik ve açıortay bilgileri buna göre kullanılır.

Yamuğu paralelkenar gibi, deltoidi eşkenar dörtgen gibi davranmaya zorlamak yanlıştır.

İkisi de dörtgendir, ikisi de üçgenlere bölünerek çözülebilir; fakat birinin dili paralel taban, diğerinin dili komşu eş kenardır.

Çözüm sırası kimlik, verilen özel koşul, uygun yardımcı çizgi ve son olarak işlem olmalıdır.

Yamukta orta taban ile köşegenlerin birlikte bulunduğu sorular, çoğu zaman üçgen benzerliği ister.

Yan kenarların orta noktaları birleştirildiğinde oluşan orta taban, büyük tabanlara paralel olduğu için şeklin içinde küçük üçgenler doğar.

Bir köşegen bu orta tabanı kestiğinde, kesişim noktasının iki yanında kalan parçalar taban uzunluklarıyla ilişkilendirilebilir.

Bu ilişkiyi ezberlemek yerine paralelliğin kurduğu benzer üçgenleri görmek daha güvenlidir.

Verilenler tabanların toplamıysa orta taban hemen bulunur; tabanların farkı öne çıkıyorsa köşegenlerin orta taban üzerinde ayırdığı küçük parçalar önem kazanır.

Alan sorusunda da aynı düşünce geçerlidir: orta taban tek başına alan değildir, yükseklikle çarpıldığında alan verir.