Düzgün Piramit Konu Anlatımı

Düzgün piramit, piramitlerin simetri bakımından en elverişli türüdür.

Piramit genel olarak bir taban bölgesi ile bu tabanın düzleminde olmayan bir tepe noktasının birleştirilmesiyle oluşur.

Taban üçgen, kare, beşgen, altıgen veya başka bir çokgen olabilir.

Düzgün piramitte ise taban sıradan bir çokgen değil, kenarları ve açıları eşit olan düzgün çokgendir; tepe noktası da bu düzgün tabanın merkezinin dik doğrultusunda yer alır.

Bu yüzden düzgün piramit aynı zamanda dik piramit mantığıyla çözülür.

Tepe noktasından tabana indirilen dikme tabanın merkezine düşer ve bu doğru parçası piramidin ana yüksekliğidir.

Bu konuda ilk öğrenilmesi gereken ayrım, piramidin ana yüksekliği ile yan yüz yüksekliğinin aynı şey olmadığıdır.

Ana yükseklik, tepe noktasından taban düzlemine indirilen dik uzaklıktır.

Yan yüz yüksekliği ise bir yan üçgenin içinde kalır; tepe noktasından taban kenarının orta noktasına iner ve o yan üçgenin alanı hesaplanırken kullanılır.

Yan ayrıt da üçüncü bir uzunluktur; tepe noktasından tabanın bir köşesine uzanır.

Kare tabanlı düzgün piramitte ana yükseklik taban köşegenlerinin kesiştiği merkeze, yan yüz yüksekliği kenarın orta noktasına, yan ayrıt ise köşeye gider.

Bu üç çizginin son noktaları farklı olduğundan, her biri farklı dik üçgen kurar.

Düzgünlük şartı, tabandaki merkez bilgisini güvenilir hale getirir.

Kare tabanda merkez köşegenlerin kesişme noktasıdır.

Bu noktadan bir kenara dik inildiğinde kenar iki eş parçaya ayrılır.

Aynı merkezden köşeye gidildiğinde ise karenin yarım köşegeni elde edilir.

Bir soru yan yüz yüksekliği soruyorsa merkezden kenar orta noktasına giden mesafe gerekir; yan ayrıt soruyorsa merkezden köşeye giden mesafe gerekir.

Sınavda çok yapılan hata, taban ayrıtının yarısını her durumda kullanmaktır.

Oysa karede kenar orta noktasına uzaklık a/2 iken köşeye uzaklık a kök iki bölü ikidir.

Düzgün altıgen veya eşkenar üçgen tabanda da benzer biçimde merkezin köşeye ve kenara uzaklıkları ayrı düşünülür.

Hacim formülü bütün piramitlerde aynı mantığa dayanır.

Piramit, aynı tabana ve aynı yüksekliğe sahip prizmanın üçte biri kadar hacme sahiptir.

Bu nedenle hacim, taban alanı çarpı ana yükseklik bölü üç şeklinde alınır.

Buradaki yükseklik yan yüz yüksekliği değildir.

Kare tabanlı bir düzgün piramitte taban alanı a kare, ana yükseklik h ise hacim a kare çarpı h bölü üç olur.

Taban eşkenar üçgense önce eşkenar üçgen alanı, taban düzgün altıgense altı eşkenar üçgenin toplam alanı kullanılır.

Taban alanı doğru seçilip ana yükseklikle çarpılmadığında sonuç tesadüfen doğru çıkmaz; özellikle yanal alan bilgisi verilmiş sorularda önce doğru yüksekliği bulmak gerekir.

Yanal alan hesabı yan yüzlerin eşliğine dayanır.

Düzgün piramitte taban düzgün olduğu ve tepe merkez doğrusu üzerinde bulunduğu için yan yüzler eş ikizkenar üçgenlerdir.

Bir yan üçgenin tabanı taban çokgeninin bir kenarıdır; bu üçgenin yüksekliği ise yan yüz yüksekliğidir.

Bir yan yüz alanı taban kenarı çarpı yan yüz yüksekliği bölü iki olarak bulunur, sonra yan yüz sayısıyla çarpılır.

Kare tabanlı düzgün piramitte dört eş üçgen, düzgün beşgen tabanda beş eş üçgen, düzgün altıgen tabanda altı eş üçgen vardır.

Taban çevresi P ve yan yüz yüksekliği l olarak düşünülürse yanal alan P çarpı l bölü iki biçiminde özetlenebilir; ancak bu kısa formülün arkasında yan üçgenlerin alan toplamı vardır.

Toplam yüzey alanı sorulursa yanal alan tek başına yeterli değildir.

Piramidin dış yüzeyi yan üçgenlerden ve tabandan oluşur.

Bu yüzden toplam yüzey alanı, yanal alan ile taban alanının toplamıdır.

Soru yalnızca yanal alan diyorsa taban eklenmez; yüzey alanı veya tüm alan diyorsa taban alanı eklenir.

KPSS tarzı sorularda kelime farkı önemlidir.

Hacimden yüksekliği buldurup ardından yanal alan sormak yaygın bir kurgudur.

Böyle bir soruda önce taban alanı ve hacim formülünden ana yükseklik bulunur; sonra ana yüksekliğin taban merkezinden kenar orta noktasına giden uzaklıkla oluşturduğu dik üçgenden yan yüz yüksekliği elde edilir; en son yan üçgenlerin alanları toplanır.

Düzgün piramitte işlem sırası şekli doğru okumakla başlar.

Tepe noktası tabanın merkezine dik iniyorsa ana yüksekliği merkezle birlikte işaretlemek gerekir.

Ardından sorunun istediği uzunluğa göre merkezin hangi noktaya bağlanacağı seçilir.

Kenar orta noktası yan yüz yüksekliği için, köşe yan ayrıt için, taban bölgesi ise hacim için kullanılır.

Bu ayrım yapılmadan doğrudan formüle gidilirse özellikle kare tabanlı sorularda a/2 ile a kök iki bölü iki karışır.

Bir başka tuzak da yan ayrıtı yan yüz yüksekliği gibi alıp üçgen alanı hesaplamaktır; yan ayrıt ikizkenar üçgenin eş kenarıdır, alan yüksekliği değildir.

Düzgün piramit konusu hukuki bir çerçeve içermez; çerçevesi geometri tanımları ve ölçme kurallarıdır.

Koşul, tabanın düzgün çokgen olması ve tepenin merkez doğrusu üzerinde bulunmasıdır.

Bu koşul bozulursa yan yüzlerin eşliği, merkezden kenara inen doğrunun güvenle orta noktaya düşmesi veya tüm yan ayrıtların eşitliği otomatik kabul edilemez.

Düzgün piramidi sıradan piramitten ayıran sınav değeri de buradadır.

Sıradan piramitte ek bilgi olmadan simetri kurulamaz; düzgün piramitte ise simetri, dik üçgenleri ve alan toplamlarını kısa yoldan kurdurur.

Örnek düşünme biçimi şöyle olmalıdır: taban ayrıtı verilen kare düzgün piramitte önce taban alanı bulunur, hacim verilmişse ana yükseklik buradan çıkarılır.

Daha sonra yanal alan isteniyorsa ana yükseklik tek başına kullanılmaz; taban merkezinden kenarın orta noktasına olan uzaklıkla birlikte yeni bir dik üçgen kurulur.

Bu üçgenin hipotenüsü yan yüz yüksekliğidir ve yan üçgen alanında kullanılan uzunluk budur.

Yan ayrıt istenseydi aynı ana yükseklik bu kez merkezden köşeye olan uzaklıkla birleştirilirdi.

Böylece aynı piramit içinde iki farklı Pisagor hesabı yapılabileceği görülür.

Sınavda verilen şekil bazen bu çizgileri açıkça göstermeyebilir; adayın merkezi, kenar orta noktasını ve köşeyi kendisinin işaretlemesi gerekir.