Prizma Konu Anlatımı

Prizma, katı cisimler konusunun temel modellerinden biridir.

Bir cismin prizma sayılabilmesi için alt ve üst tabanlarının birbirine eş olması ve paralel düzlemlerde bulunması gerekir.

Tabanlardan biri kareyse üst taban da ona eş bir kare, biri üçgense üst taban da ona eş bir üçgen olmalıdır.

Bu iki taban arasındaki karşılıklı köşeler yan ayrıtlarla birleşir ve yan yüzler oluşur.

Prizmanın adı çoğunlukla taban şekline göre verilir.

Bu nedenle soruya başlarken cismin dış görünüşünden önce tabanının hangi geometrik şekil olduğunu belirlemek gerekir; çünkü bütün alan ve hacim hesabı taban bilgisi üzerinden kurulur.

Taban şekli prizmanın kimliğini belirler.

Kare tabanlı dik prizma özel koşullarda küp olabilir; dikdörtgen tabanlı prizma dikdörtgenler prizması olarak karşımıza çıkar; üçgen tabanlı olan üçgen prizmadır.

Taban düzgün altıgen, beşgen veya başka bir çokgen de olabilir.

Alt tabanda hangi şekil varsa üst tabanda da ona eş şekil bulunmalıdır; bu, prizmanın tanım şartıdır.

Eğer alt ve üst yüzler farklı şekillerse ya da paralel değillerse cisim prizma mantığıyla çözülemez.

Sınavda bazen şekil eğik çizilir; burada görüntüye değil, tabanların eş ve paralel olup olmadığına bakılmalıdır.

Prizmalar dik ve eğik olarak ayrılır.

Dik prizmada yan ayrıtlar tabana diktir.

Bu durumda yan ayrıt uzunluğu aynı zamanda yükseklik olarak kullanılabilir.

Eğik prizmada yan ayrıtlar tabana dik değildir; yükseklik, tabanlar arasındaki dik uzaklıktır ve yan ayrıttan farklı olabilir.

KPSS düzeyindeki temel formüller çoğunlukla dik prizmalar için doğrudan uygulanır.

Bu ayrım önemlidir, çünkü hacim formülünde kullanılan yükseklik her zaman tabanlara dik uzaklıktır.

Eğik çizilmiş bir ayrıtı otomatik olarak yükseklik almak, özellikle üç boyutlu şekillerde yanlış sonuca götürür.

Dik prizmada hacim, taban alanı çarpı yükseklik formülüyle bulunur.

Bu formülün değişmeyen kısmı yükseklikle çarpmadır; değişen kısım taban alanıdır.

Taban kareyse kenarın karesi, dikdörtgense iki kenarın çarpımı, üçgense uygun taban-yükseklik hesabı, düzgün altıgense altı eşkenar üçgen mantığı kullanılabilir.

Hacim birimi küptür ve soruda verilen uzunluk birimleriyle uyumlu olmalıdır.

Hacim verilip yükseklik sorulursa taban alanı bulunur ve hacim bu alana bölünür.

Taban alanı bilinmeden hacme geçmek mümkün değildir.

Yanal alan, prizmanın yan yüzlerinin alanları toplamıdır.

Dik prizmada her yan yüz, tabanın bir kenarı boyunca yükselen dikdörtgen gibi düşünülebilir.

Bu dikdörtgenlerin yükseklikleri prizmanın yüksekliği, genişlikleri ise taban kenarlarıdır.

Bütün yan yüzlerin alanları toplandığında taban kenarlarının toplamı ile yükseklik çarpılmış olur.

Bu yüzden dik prizmada yanal alan, taban çevresi çarpı yükseklik şeklinde yazılır.

Burada taban çevresi ile taban alanı karıştırılmamalıdır.

Çevre uzunluk birimidir, alan kare birimdir; yanal alan için çevrenin yükseklikle çarpılması gerekir.

Tüm yüzey alanı, yanal alana alt ve üst taban alanlarının eklenmesiyle bulunur.

Alt ve üst taban eş olduğundan taban alanı ikiyle çarpılır.

Böylece tüm alan, yanal alan artı iki taban alanı olur.

Soru yalnızca yanal alan diyorsa tabanlar eklenmez; yüzey alanı, tüm alan veya dış yüzey alanı diyorsa tabanlar dahil edilir.

Bu ayrım açıkça korunmalıdır: yan yüzlerin toplamı ayrı, yan yüzlere iki tabanı eklemek ayrı işlemdir.

Sınav seçeneklerinde yanal alan sonucu genellikle çeldirici olarak bulunur; aday tüm alanı isterken yanal alanda durursa yanlış seçeneğe gider.

Prizma soruları çoğu zaman iki boyutlu geometri bilgisiyle birlikte çözülür.

Taban üçgense üçgenin yüksekliği, özel üçgen ilişkileri veya alan formülü gerekebilir.

Taban düzgün çokgense çevre ve alan için çokgenin iç yapısı okunur.

Dikdörtgenler prizmasında taban köşegeni, yüz köşegeni veya cisim köşegeni sorulabilir; bu durumda Pisagor bağıntısı kullanılır.

Prizma yalnızca hacim formülü değildir; tabandaki düzlemsel şeklin üçüncü boyuta taşınmasıdır.

Bu yüzden önce tabanın alanı ve çevresi netleştirilir, sonra yükseklikle ilişki kurulur.

Kesme, birleştirme ve boşaltma sorularında prizma mantığı yine korunur.

Aynı tabana ve farklı yüksekliklere sahip prizmaların hacimleri yükseklikleriyle orantılıdır.

Bir prizmanın içinden başka bir prizma çıkarılıyorsa kalan hacim, büyük hacimden küçük hacmin çıkarılmasıyla bulunur.

Parçalara ayrılmış cisimlerde her parçanın tabanı ve yüksekliği ayrı belirlenir.

Ancak yüzey alanı sorularında parçaları sadece hacim gibi toplamak yeterli değildir; kesilen veya yapıştırılan yüzlerin dış yüzeyde kalıp kalmadığı kontrol edilmelidir.

Hacim iç doluluğu, alan dış kaplamayı anlatır.

Prizma sorularındaki temel prosedür, tanım şartlarını ve isteneni ayırmaktır.

Önce tabanlar eş ve paralel mi, cisim dik mi eğik mi, taban şekli ne, yükseklik hangisi soruları cevaplanır.

Sonra istenen büyüklük hacimse taban alanı ile yükseklik çarpılır; yanal alansa taban çevresi ile yükseklik çarpılır; tüm alansa yanal alana iki taban alanı eklenir.

Eğer uzunluk isteniyorsa uygun dik üçgen aranır.

Bu sıra takip edilirse formüller ezber gibi değil, cismin yapısının doğal sonucu gibi çalışır.

Sınav tuzakları belirgindir.

Birincisi, eğik prizmadaki yan ayrıtı yükseklik sanmaktır.

İkincisi, taban alanı gereken yerde çevreyi, çevre gereken yerde alanı kullanmaktır.

Üçüncüsü, tüm yüzey alanı sorusunda iki tabanı eklemeyi unutmaktır.

Dördüncüsü, taban şeklinin alanını yanlış hesaplamaktır.

Beşincisi, hacim ve alan birimlerini karıştırmaktır.

Prizma konusunu sağlam öğrenen aday, her soruda aynı karar ağacını işletir: tabanı tanı, yüksekliği belirle, istenen yüzey veya hacim türünü ayır, sonra işlemi yap.

Dikdörtgenler prizması ve küp, prizma ailesinin en sık kullanılan özel örnekleridir.

Dikdörtgenler prizmasında üç farklı ayrıt uzunluğu vardır ve hacim bu üç uzunluğun çarpımıdır; bu, taban alanı çarpı yükseklik formülünün özel görünümüdür.

Küpte bütün ayrıtlar eşit olduğundan hacim ayrıtın küpü, yüzey alanı altı yüzün alanları toplamı olarak altı a kare olur.

Bu özel biçimler genel prizma mantığından kopuk ezberler değildir.

Taban kare veya dikdörtgen olduğunda çevre, alan ve yükseklik daha hızlı okunur.

Ancak soru farklı bir tabanı seçerse yine genel kurala dönülür: taban alanı hacme, taban çevresi yanal alana gider.