Dairede Alan Konu Anlatımı

Dairede alan konusunun başlangıç noktası, çember ile daire arasındaki kavramsal ayrımı doğru kurmaktır.

Çember, merkezden eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu sınır çizgisidir; daire ise bu sınırın kapattığı düzlemsel bölgeyi de kapsar.

Bu nedenle bir soruda çevre uzunluğu isteniyorsa sınır çizgisinin uzunluğu konuşulur, alan isteniyorsa iç bölgenin kaç birim kare tuttuğu aranır.

Bu çerçeve, formülü ezberlemekten daha önemlidir; çünkü hangi büyüklüğün uzunluk, hangisinin alan olduğunu ayırmayan aday doğru sayıları kullanıp yanlış türde cevap bulabilir.

Yarıçapı r olan dairenin temel alan bağıntısı pi çarpı r karedir.

Buradaki kare, alan sorularının ana koşuludur.

Yarıçap iki katına çıktığında çevre iki katına çıkar ama alan dört katına çıkar; yarıçap yarıya inerse alan dörtte bire düşer.

Çap verildiğinde doğrudan r yerine yazılmaz, önce çapın yarısı alınır.

Daire alanında birim de bu farkı hatırlatır: çevre birim, alan birim karedir.

Sınavda seçenekler pi ile bırakılabilir veya pi için yaklaşık bir değer verilebilir; ancak KPSS tarzı işlemlerde çoğu zaman pi sadeleşir ya da cevap pi cinsinden kalır.

Adayın işlem sırası şu mantıkla yürümelidir: önce merkez ve yarıçapı belirlemek, sonra tam daire mi parça mı sorulduğunu anlamak, en sonunda alan formülünü uygulamak.

Çevre bağıntısı da alanla birlikte düşünülür, çünkü birçok soru birinden diğerine geçiş ister.

Alanı 9 pi olan bir dairede pi r kare 9 pi olduğundan r değeri 3 olur; çevre soruluyorsa bundan sonra iki pi r kullanılır.

Bu örüntüde tuzak, alan eşitliğinden r kareyi bulup karekök almadan çevreye geçmektir.

Çevre 18 pi değil 6 pi çıkar; çünkü r kare değil r gerekir.

Benzer biçimde çevresi verilen dairenin alanı isteniyorsa önce yarıçap bulunur, sonra karesi alınır.

Daire soruları kısa görünür ama ölçü türleri arasında geçiş yaptırdığı için dikkat ister.

Alanın sonuç biriminin kareli olması, işlemde hangi noktaya kadar gelindiğini kontrol eden sessiz bir işarettir.

Daire dilimi, merkezden çıkan iki yarıçapın ve bu yarıçapların gördüğü yayın sınırladığı bölgedir.

Tam daire 360 derece kabul edildiğinden, merkez açısı alfa derece olan bir dilimin alanı bütün alanın alfa bölü 360 kadarıdır.

Aynı oran yay uzunluğunda da kullanılır; fark, yayda başlangıç büyüklüğünün iki pi r, alanda başlangıç büyüklüğünün pi r kare olmasıdır.

Bu iki formül birbirine benzediği için sınavda karıştırılabilir.

Yay uzunluğu çizgi ölçüsüdür ve birimle ifade edilir; dilim alanı bölge ölçüsüdür ve birim kareyle ifade edilir.

Bu nedenle oranı ezberlenen ayrı bir kural gibi değil, bütünün istenen açı payı kadarını alma işlemi olarak görmek daha güvenlidir.

Daire diliminin çevresi sorulduğunda sadece yay uzunluğu yetmez.

Dilimi çevreleyen sınır, yayın kendisiyle birlikte merkeze giden iki yarıçaptan oluşur.

Bu özel durum, alan ve yay sorularından ayrılır.

Örneğin merkez açısı 60 derece olan bir dilimde yay bulunup cevap sanılırsa, dilimin çevresi eksik kalır; iki yarıçap daha eklenmelidir.

Buna karşılık yalnızca AB yayının uzunluğu isteniyorsa yarıçaplar hesaba katılmaz.

Soruda kullanılan kelime burada belirleyicidir: yay uzunluğu, daire diliminin alanı, daire diliminin çevresi ve boyalı bölgenin alanı aynı şekilden çıkabilir ama farklı işlemler gerektirir.

Bu yüzden işlemden önce istenen büyüklüğü adlandırmak, gereksiz formül denemelerinin önüne geçer.

Boyalı bölge sorularında hukuki bir metin gibi kesin sınır okumak gerekir: hangi alan dahil, hangisi hariç, hangi yay yalnız sınır olarak verilmiş, hangi bölge gerçekten boyanmış?

Matematiksel çerçeve burada toplama ve çıkarma kuralıdır.

Büyük dairenin içinden küçük bir daire çıkarılıyorsa halka alanı elde edilir; eş merkezli olmayan dairelerde de istenen bölge, parçaların alan farkı olarak düzenlenebilir.

Bir kare, üçgen veya dikdörtgen daire içine yerleşmişse önce o şeklin alanı bulunur, sonra daire alanıyla karşılaştırılır.

Kare çember içine çizilmişse köşegenin çap olabileceği, dik üçgende hipotenüsün çapla ilişkilenebileceği, eşkenar üçgende merkez ve yükseklik ilişkilerinin kullanılabileceği unutulmamalıdır.

Dairede alan tek başına çalışmaz; önce şeklin verdiği uzunluğu yarıçapa çevirmek gerekir.

Daire alanı ile çokgen alanı bir araya geldiğinde önceki geometri bilgileri de devreye girer.

Kirişler dörtgeni, teğet, ortak teğet ve dik üçgen ilişkileri bazen doğrudan alan formülüne ulaşmak için değil, yarıçapı veya gerekli kenarı bulmak için kullanılır.

Bu nedenle daire sorusunda şekle bakınca hemen pi r kare yazmak her zaman yeterli değildir.

Önce çemberin merkezi, yarıçapın hangi parçaya eşit olduğu, çapın nereden geçtiği ve verilen açının merkez açı mı çevre açı mı olduğu incelenir.

Merkez açıyla çevre açının karıştırılması dilim oranını doğrudan bozar; çünkü dilimin oranı merkez açısıyla kurulur.

Çevre açı verilmişse çoğu durumda gördüğü yayın veya merkez açının ayrıca bulunması gerekir.

Sınav tuzaklarının çoğu küçük kelime farklarından doğar.

Çap 10 denilen yerde yarıçap 10 alınırsa alan dört kat fazla çıkar.

Alanı verilen dairede r kare değeriyle işlem yapılırsa çevre yanlış bulunur.

Daire diliminin alanı istenirken iki pi r kullanılırsa uzunluk formülü alana taşınmış olur.

Yay uzunluğu bulunurken alfa bölü 360 oranı doğru olsa bile, alfa merkez açı değilse sonuç desteklenmez.

Boyalı alanda bütün şekillerin alanını toplamak veya çıkarma yönünü ters almak da sık hatadır.

Sağlam çözüm alışkanlığı şudur: sorudaki büyüklüğü isimlendir, yarıçapı kesinleştir, tam daire mi dilim mi olduğunu ayır, gerekiyorsa önce yardımcı üçgen veya çokgen alanını bul, son adımda alanları uygun yönde birleştir.

Bu sıra, hem temel formülü hem de özel durumları denetim altında tutar.

Dairede alan sorularında oran bilgisi bazen doğrudan açıyla değil, yayların veya eş parçaların karşılaştırılmasıyla verilir.

Bir çember birkaç eş yaya ayrılmışsa her eş yayın gördüğü merkez açı eşittir; dolayısıyla her eş dilimin alanı da eşit olur.

Ancak yayların eşitliği, o yayların sınırladığı kirişlerin de eşit olmasını sağlar diye düşünülse bile, alan hesabında asıl belirleyici merkez açıdır.

Bir başka özel durum, yarım daire ve çeyrek daire parçalarıdır.

Yarım daire alanı tam alanın yarısı, çeyrek daire alanı dörtte biridir; fakat bu parçaların çevresi sorulduğunda çap veya iki yarıçap sınırın parçası haline gelebilir.

Bu ayrıntı, aynı şeklin alan ve çevre sorularında farklı sonuç üretmesine yol açar.