Simetriler Konu Anlatımı

Analitik düzlemde simetri, koordinatların düzenli biçimde değişmesiyle anlaşılır.

Bir nokta yansıtıldığında noktanın simetri alınan yere uzaklığı korunur; yalnızca düzlemdeki konumu karşı tarafa taşınır.

Bu yüzden simetri sorularında önce simetrinin neye göre alındığı belirlenir. x ekseni, y ekseni, orijin, y eşittir x doğrusu ve y eşittir eksi x doğrusu en temel simetri yerleridir.

Her biri koordinatlarda farklı ama tutarlı bir dönüşüm oluşturur.

x eksenine göre simetride nokta yatay eksenin öbür tarafına geçer.

Yatay konum değişmediği için x değeri aynı kalır; noktanın eksenin üstünde ya da altında oluşunu anlatan y değeri işaret değiştirir.

Bu nedenle a, b noktasının x eksenine göre simetriği a, eksi b biçiminde düşünülür. y eksenine göre simetride bu kez düşey konum korunur; y değeri aynı kalır, x değeri işaret değiştirir. a, b noktası eksi a, b noktasına gider.

Orijine göre simetride nokta hem yatay hem düşey yönde karşı tarafa taşındığı için iki koordinat da işaret değiştirir ve sonuç eksi a, eksi b olur.

y eşittir x doğrusuna göre simetri, koordinatların yer değiştirmesiyle görülür.

Çünkü bu doğru, birinci ve üçüncü bölgeleri ortadan bölen çizgi gibi davranır; noktanın x uzaklığı y uzaklığına, y uzaklığı x uzaklığına dönüşür. a, b noktası b, a noktasına gider. y eşittir eksi x doğrusuna göre simetride ise yer değiştirme yapılırken işaretler de ters döner; a, b noktası eksi b, eksi a biçiminde yorumlanır.

Bu kurallar, sadece tek nokta için değil, doğru parçaları ve çokgenler için de uygulanır.

Bir şeklin simetriği istenirse köşe noktaları tek tek dönüştürülür ve yeni noktalar aynı sırayla birleştirilir.

Doğru simetrilerinde de mantık aynıdır.

Bir doğru üzerindeki iki noktanın simetriği alınırsa, bu yeni noktaların oluşturduğu doğru eski doğrunun simetriğidir.

Eksenlere göre simetri alınırken denklemdeki x ya da y yerine işaret değiştirmiş değer yazmak da kullanılabilir.

Örneğin x eksenine göre simetri düşünülüyorsa y'nin işareti, y eksenine göre simetri düşünülüyorsa x'in işareti değişir.

Fakat işlem ne kadar cebirsel görünürse görünsün, temel kontrol geometriktir: eski ve yeni nokta, simetri eksenine eşit uzaklıkta olmalıdır.

Bu kontrol yapılırsa işaret hataları hızlıca yakalanır.

Simetri işlemlerinde sıranın korunması da önemlidir.

Bir çokgenin köşeleri dönüştürülürken her köşe aynı simetri kuralına göre taşınmalı ve yeni köşeler eski şeklin sırasıyla birleştirilmelidir; aksi halde doğru noktalar bulunmasına rağmen farklı bir şekil oluşabilir.