Piramit Konu Anlatımı

Piramit, katı cisimlerde prizmalardan farklı bir yapı gösterir.

Prizmada alt ve üst taban birbirine eş ve paralelken piramitte yalnız bir taban vardır ve bu tabanın köşeleri taban düzlemi dışında bulunan tek bir tepe noktasıyla birleşir.

Taban üçgen, kare, dikdörtgen, beşgen veya başka bir çokgen olabilir.

Yan yüzlerin tamamı üçgensel bölgelerdir.

Bu nedenle piramidin adı çoğu zaman tabanına göre verilir: kare piramit, üçgen piramit veya beşgen piramit gibi.

Tabanı daire olan yapı ise teknik olarak koniyle ilişkilidir; temel piramit anlatımında çokgen taban öne çıkar.

Piramidin prizmadan ayrıldığı en önemli nokta, cismin bir uçta tek tepeye kapanmasıdır.

Prizmada yan yüzler çoğunlukla paralel kenar veya dikdörtgen biçimindedir ve cisim aynı kesitle yükselir.

Piramitte ise tabandan tepeye doğru kesitler küçülür.

Bu yüzden hacim formülü de prizmanın aynısı değildir.

Aynı taban alanına ve aynı yüksekliğe sahip bir prizmanın hacmi taban alanı çarpı yükseklik iken, piramidin hacmi bunun üçte biridir.

Kısaca hacim, taban alanı çarpı yükseklik bölü üç olarak kullanılır.

Yükseklik kavramı piramitlerde dikkat ister.

Piramidin yüksekliği, tepe noktasından taban düzlemine indirilen dik uzaklıktır.

Bu uzunluk, tepe noktasından tabandaki bir köşeye giden yan ayrıtla aynı şey değildir.

Yan ayrıt eğik bir kenardır ve çoğu zaman yüksekten daha uzundur.

Yan yüz yüksekliği de ayrı bir kavramdır; bir yan üçgenin tepesinden taban kenarına indirilen yüksekliktir.

Kare tabanlı düzgün piramitte bu üç uzunluk farklı dik üçgenlerin içinde yer alır.

Soru hangi uzunluğu verdiğini açıkça söylemiyorsa çizimdeki konum dikkatle okunmalıdır.

Hacim hesabında önce taban alanı belirlenir.

Taban kareyse kenarın karesi, dikdörtgense iki kenarın çarpımı, üçgense taban çarpı yükseklik bölü iki kullanılır.

Düzgün çokgen tabanlı sorularda taban alanı için o çokgene ait bilgiler gerekebilir.

Daha sonra piramidin dik yüksekliği ile çarpılır ve sonuç üçe bölünür.

Hacim verilip yükseklik istenirse işlem tersine çevrilir; hacim üçle çarpılır, taban alanına bölünür.

Üçe bölme katsayısını unutmak, piramit sorularında en sık yapılan temel hatalardan biridir.

Alan hesabında piramit iki parçaya ayrılarak düşünülür: taban alanı ve yan yüzlerin toplamı.

Yanal alan, piramidin yan üçgenlerinin alanları toplamıdır.

Eğer piramit düzgünse taban çokgeninin kenarları eşit, tepenin izdüşümü taban merkezinde ve yan yüzler eş üçgenler olarak ele alınabilir.

Bu durumda bir yan üçgenin alanı bulunup yan yüz sayısıyla çarpılır.

Düzgünlük bilgisi verilmemişse bütün yan yüzlerin eş olduğu varsayılamaz; yan üçgenler ayrı ayrı değerlendirilebilir.

Tüm alan istendiğinde yanal alana taban alanı eklenir.

Düzgün kare piramit, sınavlarda en çok karşılaşılan modellerden biridir.

Kare tabanın merkezi, köşeleri ve kenar orta noktaları farklı dik üçgenler oluşturur.

Tepe noktasından taban merkezine inen doğru piramidin yüksekliğidir.

Tepe noktasından taban köşesine giden uzunluk yan ayrıttır.

Tepe noktasından taban kenarının orta noktasına inen yan yüz içi yükseklik ise apotem gibi düşünülebilir.

Bu üç uzunluğu aynı görmek yanlıştır.

Taban merkezinden köşeye giden uzaklık kare köşegeninin yarısıdır; merkezden kenar orta noktasına giden uzaklık ise taban kenarının yarısıdır.

Piramitlerde Pisagor çoğu zaman bu yardımcı uzunluklarla kullanılır.

Kare tabanlı düzgün piramitte yükseklik ile taban merkezinden köşeye olan uzaklık, yan ayrıtı veren dik üçgeni oluşturur.

Yükseklik ile taban merkezinden kenar orta noktasına olan uzaklık ise yan yüz yüksekliğini veren başka bir dik üçgendir.

Soru yanal alan istiyorsa yan yüz yüksekliği gerekir; hacim istiyorsa dik yükseklik gerekir; yan ayrıt isteniyorsa köşeye giden eğik kenar hesaplanır.

Bu ayrım sorunun çözüm yolunu baştan değiştirir.

Kesit ve benzerlik yorumlarında piramit, tepeye doğru küçülen benzer şekiller üretir.

Taban düzlemine paralel bir kesit alınırsa oluşan küçük çokgen, tabana benzerdir.

Uzunluk oranı k ise alan oranı k kare, hacim oranı k küp olur.

Bu düşünce kesik piramit sorularına da zemin hazırlar.

Temel düzeyde doğrudan kesik piramit formülü verilmeden de büyük piramitten küçük piramidi çıkarma mantığı kullanılabilir.

Ancak bu tür sorularda paralel kesit bilgisi verilmeden benzerlik kurulmaz.

Piramidin sınav tuzakları çoğunlukla dil ve çizim kaynaklıdır.

Şekil düzgün çizilmiş görünse bile metin düzgün piramit demiyorsa tepenin taban merkezine düştüğü varsayımı yapılmamalıdır.

Yan ayrıt verilmişse bunu yüksekliğe eşitlemek yanlıştır.

Yanal alan denildiğinde taban alanı eklenmez; tüm alan denildiğinde eklenir.

Hacimde taban alanı ile dik yükseklik kullanılır, yan yüz yüksekliği hacim formülüne konmaz.

Taban şekli değiştikçe taban alanı formülü de değişir; piramit formülü tek başına tabanı hesaplamaz.

Sağlam çözüm için önce taban şekli belirlenir, sonra tepe noktasının tabana göre konumu okunur.

Ardından istenen büyüklük hacim, yanal alan, tüm alan, yan ayrıt veya yükseklik olarak ayrılır.

Hacimde taban alanı çarpı dik yükseklik bölü üç kullanılır.

Alan sorusunda yan üçgenlerin alanları toplanır ve gerekirse taban eklenir.

Yardımcı uzunluk gerekiyorsa taban merkezi, köşe ve kenar orta noktası arasındaki mesafelerle dik üçgen kurulur.

Bu düzenli ayrım piramidi ezber konusu olmaktan çıkarır; prizma ile karşılaştırma, üçte bir hacim ilişkisi ve üçgensel yan yüzler üzerinden okunabilir hale getirir.

Piramit sorularında hacim ile alan için gerekli yüksekliklerin farklı olabilmesi özellikle önemlidir.

Hacimde kullanılan yükseklik taban düzlemine diktir; yanal alan için gereken uzunluk ise yan üçgenin kendi içindeki yüksekliğidir.

Kare tabanlı düzgün piramitte yan yüz yüksekliği, taban kenarının orta noktasına iner ve bir yan üçgeni iki eş dik üçgene ayırır.

Taban kenarının yarısı ile bu yan yüz yüksekliği kullanılarak yan yüz alanı bulunur.

Buna karşılık hacimde taban merkezine inen dik yükseklik kullanılır.

İki uzunluk aynı çizimde yakın görünebilir, fakat görevleri farklıdır.

Prizma-piramit karşılaştırması, üçte bir katsayısını anlamanın en pratik yoludur.

Aynı taban ve yüksekliğe sahip cisimlerde prizma tabandan tavana kadar aynı kesiti taşırken, piramit tepeye doğru daralır.

Bu daralma hacmi üçte bire indirir.

Taban alanı değişirse önce yeni taban alanı hesaplanmalı, sonra yükseklikle ilişki kurulmalıdır.

Soruda bir piramit bir prizmanın içine yerleştirilmişse ortak taban, ortak yükseklik veya ortak köşe bilgisi aranır.