Üçgende Açıortay Teoremleri Konu Anlatımı

Açıortay konusunun başlangıç noktası tanımdır: bir açının içinden çıkan doğru parçası ya da ışın, o açının ölçüsünü iki eş parçaya ayırıyorsa açıortaydır.

Şekilde iki küçük açı aynı yayla gösterilmişse bu, uzunlukların eşit olduğu anlamına gelmez; önce yalnızca açıların eşit olduğunu söyler.

Bu ayrım özellikle üçgende önemlidir, çünkü köşeden karşı kenara inen her çizgi aynı görevi yapmaz.

Açıortay açıyı böler, kenarortay kenarı eşit böler, yükseklik ise bir kenara dik iner.

Bir soruda çizgi hem açıortay hem başka bir özel çizgi olabilir, fakat bu ancak şekil veya verilenler bunu ayrıca destekliyorsa kabul edilir.

Genel üçgende açıortay gördüğünde ilk güvenli bilgi eş açıdır; sonraki bilgi sorunun verdiği konuma göre uzaklık veya oran olabilir.

Açıortay üzerindeki nokta özelliği, kaynakta özellikle dikmeler üzerinden anlatılır.

Açıortay doğrusu üzerindeki herhangi bir noktadan açının iki koluna dikmeler indirildiğinde bu dik uzaklıklar birbirine eşittir.

Buradaki eşitlik, noktanın kollara olan en kısa uzaklıklarıyla ilgilidir; bu yüzden çizilen parçaların gerçekten kollara dik olması gerekir.

Bir dikme verilmiş, diğeri çizilmemişse, açıortay bilgisi diğer kola da aynı uzunlukta dik uzaklık kurulabileceğini düşündürür.

Bu özellik açı ölçüsü hesaplamaktan çok uzunluk ve yardımcı üçgen kurma sorularında işe yarar.

Şekilde dik açı işaretlerini görmeden rastgele iki parçayı eşitlemek doğru değildir.

Açıortay üzerindeki nokta ile açının kolları arasında kurulan eş uzaklık, tanımın doğal sonucu gibi okunmalı, fakat yalnızca dik uzaklıklar için kullanılmalıdır.

Üçgende iç açıortay teoremi, oran kurmanın temel yeridir.

A köşesinden çıkan iç açıortay BC kenarını D noktasında kessin.

O zaman karşı kenardaki BD ve DC parçaları, A köşesine komşu olan AB ve AC kenarlarıyla orantılıdır.

Kaynaktaki anlatım bunu pratik bir okuma cümlesine indirir: açıortayın değdiği noktadan bir köşeye git, sonra açıortayın başlangıç köşesine geri dön; diğer tarafta da aynı hareketi yap ve iki oranı eşitle.

Yani BD parçası AB kenarıyla, DC parçası AC kenarıyla birlikte düşünülür.

Bu eşleştirme ters yapılırsa denklem baştan bozulur.

Oran yazarken açıortayın çizildiği karşı kenarı, açıortayın başladığı köşeye ait kenar sanmamak gerekir; oranı veren iki büyük kenar, açıortayın çıktığı köşeye komşu iki kenardır.

Bu teoremde işlem çoğu zaman doğrudan içler dışlar çarpımıdır.

Örneğin bir tarafta karşı kenar parçası 3, aynı taraftaki komşu kenar 12; diğer tarafta karşı kenar parçası x, aynı taraftaki komşu kenar 15 ise oran 3/12 = x/15 biçiminde okunur.

Buradan sadeleştirme yapılır ve x bulunur.

Kaynakta benzer biçimde 6/12 = 10/x gibi okumalar da gösterilir; mantık değişmez, yalnızca bilinmeyenin bulunduğu yer değişir.

Bu yüzden öğrencinin ezberlemesi gereken şey tek bir hazır formül değil, taraf eşleştirmesidir.

Açıortayın değdiği noktanın solundaki parça sol taraftaki kenarla, sağındaki parça sağ taraftaki kenarla birlikte alınır.

Sonra oranlar sadeleşiyorsa sadeleştirilir, sadeleşmiyorsa içler dışlar çarpımıyla devam edilir.

Oranı daha hızlı kullanmak için katsayı düşüncesi de kaynakta vurgulanır.

Eğer iki parça ya da iki kenar 3'e 4 oranındaysa, karşılık gelen diğer iki uzunluk da aynı oranın katları olarak yazılabilir.

Bir taraftaki uzunluk 3'ün katıysa karşı taraftaki uzunluk 4'ün katı olmalıdır.

15 ve 20 gibi sayılar 3'e 4 oranını veriyorsa, bilinmeyen parçalar da aynı düzenle yerleştirilir.

6'ya 15 oranı 2'ye 5 olarak sadeleştiğinde, bir taraf 2k, diğer taraf 5k diye okunabilir.

Bu yaklaşım özellikle seçenekli sorularda hesap yükünü azaltır.

Ancak katsayı yöntemi, doğru taraflar eşleştirildikten sonra işe yarar; yanlış kenarı aynı tarafa koyarsan sadeleştirme düzgün görünse bile sonuç yanlış çıkar.

İç açıortayların üçü aynı noktada kesiştiğinde kaynak bunu iç çemberin merkezi olarak verir.

Bu bilgi, açıortay üzerindeki noktanın kenarlara eş uzaklıkta olmasıyla uyumludur: iç merkezden üç kenara indirilen dik uzaklıklar eşittir ve bu eş uzaklık iç çemberin yarıçapı gibi düşünülür.

KPSS düzeyinde bu ayrıntı, üçgen içinde bir nokta verilip üç kenara dikmeler çizildiğinde anlam kazanır.

Nokta gerçekten üç iç açıortayın kesişimi olarak verilmişse, yalnız iki kola değil üç kenara olan dik uzaklıkların eşitliği de kullanılabilir.

Fakat bu sonuç da yine dik uzaklık şartına bağlıdır; iç merkezden köşelere giden uzunluklar genel olarak eşit kabul edilmez.

İç açıortayda sık yapılan hata, açıortayın karşı kenarı eşit iki parçaya böldüğünü sanmaktır.

Bu yalnızca özel koşullar altında doğru olabilir; kaynakta öğretilen genel kural eşitlik değil orandır.

Eğer AB ile AC eşit değilse, BD ile DC'nin eşit olmasını beklemek gerekmez.

Hatta teoremin amacı zaten karşı kenardaki parçaları komşu kenarların oranına bağlamaktır.

Bu nedenle soruda tabandaki iki parça eşit verilmişse, bundan komşu iki kenarın da eşit oranlı olduğu sonucu çıkarılabilir; fakat sadece açıortay çizilmiş diye taban eşitlenmez.

Aynı biçimde, bir çizginin tabanı eşit böldüğü verilmişse onun açıortay olduğu ayrıca verilmedikçe eş açı yazılamaz.

Açıortay ve kenarortay isimlerinin yan yana geçmesi bu yüzden tuzaklıdır.

Dış açıortayda da açı iki eş parçaya ayrılır, fakat artık üçgenin dışındaki açı ve uzatılmış doğru üzerinde oluşan parçalar okunur.

Kaynak, iç açıortaydan sonra dış açıortay için de ayrı kurallar olduğuna dikkat çeker; buradaki ana uyarı yön ve parça seçimidir.

Dış açıortay sorularında bir kenar uzatılmış olabilir, oran da bu uzatma üzerinde görünen parçalara bağlı kurulabilir.

Öğrenci önce hangi açının dış açı olduğuna, çizginin hangi doğruyu kestiğine ve kullanılan parçaların gerçekten aynı doğru üzerinde olup olmadığına bakmalıdır.

İç açıortay alışkanlığıyla yalnız üçgenin içindeki kısa parçaları seçmek dış açıortayda hatalı denklem kurdurabilir.

Yine de temel fikir aynıdır: açıortay, açı eşitliğini sağlar; oran yazılacaksa parçalar komşu kenarlarla doğru taraftan eşleştirilir.

Soruyu çözerken izlenecek temiz yol şekli okumaktır.

Önce eş açı işaretleri var mı, çizgi gerçekten açıortay olarak verilmiş mi, buna bakılır.