Dik Üçgen Konu Anlatımı

Dik üçgeni tanımak, geometride uzunluk sorularının büyük bölümünü doğru başlatır.

Bir üçgenin dik üçgen olması için iç açılarından birinin 90 derece olması gerekir.

Bu açı genellikle küçük kare işaretiyle gösterilir ve iki kenarın birbirine dik olduğunu anlatır.

Üçgenin iç açıları toplamı 180 derece olduğundan, 90 derecelik açı yerleştiği anda kalan iki açının toplamı 90 derece olur.

Bu nedenle dik üçgende diğer iki açı dar açıdır ve birbirini 90 dereceye tamamlar.

Bir dar açı 35 derece ise öteki 55 derecedir; bir dar açı 60 derece ise öteki 30 derecedir.

Açılarla ilgili ilk kontrol budur.

Dik üçgende kenar adları da açının konumuna göre belirlenir.

90 derecelik açıyı oluşturan iki kenar dik kenarlardır.

Bu iki kenarın karşısında kalan, yani dik açının karşısındaki kenar ise hipotenüstür.

Hipotenüs dik üçgenin en uzun kenarıdır.

Bu bilgi yalnızca isimlendirme için değil, işlem güvenliği için de önemlidir.

Şekilde en uzun görünen kenarı ezbere seçmek yerine dik açıya bakmak gerekir; hipotenüs her zaman 90 derecenin karşısındadır.

Pisagor bağıntısında kareler toplamının karşı tarafında duran kenar da bu hipotenüstür.

Hipotenüs yanlış seçilirse bütün denklem ters kurulur.

Pisagor bağıntısı dik üçgenin temel uzunluk bağıntısıdır.

Dik kenarlar x ve y, hipotenüs z ise x kare artı y kare eşittir z kare yazılır.

Bunun anlamı, dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olmasıdır.

İki dik kenar biliniyorsa hipotenüsün karesi bu iki karenin toplamıdır.

Örneğin dik kenarlar 2 ve 3 olduğunda hipotenüsün karesi 4 artı 9, yani 13 olur; hipotenüs kök 13 çıkar.

Burada sonuç köklü olabilir ve bu durum normaldir.

Her dik üçgenin kenarları tam sayı olmak zorunda değildir.

Eğer hipotenüs ve bir dik kenar biliniyorsa, bilinmeyen dik kenar yine aynı bağıntıyla bulunur; ancak bu kez çıkarma yapılır.

Hipotenüs 5, dik kenarlardan biri 2 ise bilinmeyen kenarın karesi 5’in karesinden 2’nin karesi çıkarılarak bulunur.

25 eksi 4, 21 eder; diğer dik kenar kök 21 olur.

Bu örnek, Pisagor’un yalnız hipotenüs bulma yöntemi olmadığını gösterir.

Bağıntının hangi tarafında hangi kenarın duracağını dik açı belirler.

Hipotenüsün karesi en büyük kare olduğu için, dik kenar aranırken hipotenüsün karesinden bilinen dik kenarın karesi çıkarılır.

Bazı sorularda aynı şeklin içinde birden fazla dik üçgen bulunur.

Bu durumda çözüm tek adımda değil, sırayla ilerler.

Bir dik üçgende önce ortak bir kenar bulunur, sonra bu kenar ikinci dik üçgende kullanılır.

Kaynaktaki örnekte 7 ve 24 dik kenarlarından 25 uzunluğu elde edilir; ardından bu uzunluk başka bir dik üçgende tekrar kullanılır.

Böyle sorularda hangi üçgende işlem yaptığını karıştırmamak gerekir.

Bir kenar bir üçgende hipotenüs, başka bir üçgende dik kenar olabilir.

Bu yüzden her Pisagor yazımından önce ilgili üçgenin dik açısı yeniden görülmelidir.

Özel dik üçgenler, Pisagor bağıntısının sık karşılaşılan hazır sonuçlarıdır.

3-4-5 üçgeninde dik kenarlar 3 ve 4, hipotenüs 5’tir; çünkü 9 ile 16’nın toplamı 25’tir.

5-12-13, 7-24-25 ve 8-15-17 üçlüleri de aynı mantıkla çalışır.

Bu üçlülerin katları da kullanılabilir.

Dik kenarlar 6 ve 8 ise 3-4-5 üçgeninin iki katı görülür ve hipotenüs 10 olur.

Dik kenarlar 9 ve 12 ise yine 3-4-5’in üç katı vardır ve hipotenüs 15 olur.

Bu yöntem işlem hızlandırır, fakat oran gerçekten aynıysa kullanılmalıdır.

Özel üçlüler ezber gibi görünse de asıl dayanakları yine Pisagor’dur.

Bu nedenle üçlü tanınmadığında işlem durmaz; kareler yazılarak aynı sonuca gidilir.

Tanınan üçlülerde ise gereksiz kök ve uzun toplama işlemleri azalır.

7-24-25 üçgeninde hipotenüsün 25 olduğunu görmek, sonraki adımda bu 25’in başka bir dik üçgene taşınmasını kolaylaştırır.

8-15-17 veya 5-12-13 üçlüleri de aynı şekilde, kenarların yerini doğru okumak şartıyla kullanılır.

Üçlülerin katlarında bütün kenarlar aynı katsayıyla büyür; yalnız bir kenarı büyütüp diğerlerini eski bırakmak oranı bozar.

İkizkenar dik üçgen de özel bir durumdur.

İki dik kenar eşitse, üçgenin dar açıları da eşit olur ve bu açılar 45’er derecedir.

Kenar oranı 1, 1, kök 2 biçimindedir.

Yani dik kenarların her biri a ise hipotenüs a kök 2 olur.

Kaynakta iki eşit dik kenarın 25 ve 25 olduğu durumda hipotenüsün 25 kök 2 biçiminde bulunması bu mantığın örneğidir.

Bu oran kare köşegeniyle de aynı sonucu verir: karenin bir kenarı a ise köşegen a kök 2’dir.

Burada hipotenüs eşit kenarlardan biri değil, onların karşısındaki uzun kenardır.

30-60-90 üçgeninde oran farklıdır.

Hipotenüs 2 birim kabul edilirse 30 derecenin karşısındaki kısa dik kenar 1 birim, 60 derecenin karşısındaki uzun dik kenar kök 3 birim olur.

Başka bir deyişle kısa dik kenar hipotenüsün yarısıdır; uzun dik kenar kısa dik kenarın kök 3 katıdır.

Kaynaktaki kesit örneğinde hipotenüsü 6 olan dik üçgende bir dik kenar 3 olduğunda bu ilişkinin 30-60-90 üçgeni verdiği belirtilir.

Bu özel oran görülemezse yine Pisagor uygulanabilir; kısa yol zorunlu değildir, sadece işlemi hızlandırır.

Dik üçgen sorularında pratik kontrol sırası basittir.

Önce dik açı bulunur, sonra hipotenüs belirlenir, sonra verilenlere göre Pisagor veya özel üçgen oranı seçilir.

Kenarların tamamı aynı üçgene ait değilse bağıntı kurulmaz; önce yardımcı dik üçgenin hangi kenarları içerdiği ayrılır.

En kısa uzaklık sorularında iki noktayı birleştiren doğru parçası istenebilir, fakat onu hesaplamak için bazen bir dikme indirilerek yeni dik üçgen oluşturulur.