Doğrunun Analitik İncelenmesi Konu Anlatımı

Doğrunun analitik incelenmesi yalnız doğru denklemi yazmakla başlamaz; önce koordinat düzleminde nokta, doğru parçası ve eğim ilişkisini doğru okumak gerekir.

Bu anlatımda temel fikir, bir şeklin üzerindeki noktaları apsis ve ordinatlarıyla ayrı ayrı izlemektir.

Apsis x eksenindeki konumu, ordinat y eksenindeki konumu verir.

Bir doğru parçasının uç noktaları bilindiğinde aradaki hareket de iki parçaya ayrılır: yatay hareket apsis farkıyla, düşey hareket ordinat farkıyla anlaşılır.

Analitik geometride birçok soru, bu iki farkı doğru oranlamak veya doğru ortalamak üzerine kurulur.

Bir doğru parçasını belli oranda bölen nokta bulunurken önce oran okunur.

A ile B arasındaki C noktası için AC'nin CB'ye oranı bir bölü iki ise, parça toplamda üç eş pay gibi düşünülür.

C, A'dan B'ye giderken ilk payı alır ve kalan iki pay B tarafında kalır.

Bu düşünce hem apsisler hem ordinatlar için ayrı ayrı uygulanır.

Uç noktalar arasındaki x farkı kaç birimse, bu fark verilen oran kadar paylaştırılır.

Aynı işlem y farkı için yapılır.

Böylece C noktasının apsisi ve ordinatı ayrı hesaplanır.

Örneğin A noktası ikiye yedi, B noktası beşe on üç ise, A'dan B'ye giderken apsis üç birim, ordinat altı birim artar.

AC'nin CB'ye oranı bir bölü iki olduğunda toplam üç pay vardır.

Apsis farkında bir pay bir birimdir; A'nın apsisine bir eklenince C'nin apsisi üç olur.

Ordinat farkında bir pay iki birimdir; A'nın ordinatına iki eklenince C'nin ordinatı dokuz olur.

Bu yüzden C noktası üçe dokuz olarak bulunur.

Buradaki yöntem formül ezberinden çok, farkı verilen orana göre paylaştırma mantığıdır.

Oranlı bölme sorularında artış ve azalış yönüne dikkat edilmelidir.

Uç noktaların koordinatları büyüyorsa ilgili fark eklenir; küçülüyorsa çıkarılır.

A noktası ikiyi beş, B noktası on ikiyi eksi beş gibi verildiğinde apsis artarken ordinat azalabilir.

Bu durumda x hesabında A'dan sağa gidilirken, y hesabında aşağı inilir.

Oran iki bölü üç ise toplam beş pay vardır.

Apsis farkı bu beş paya, ordinat farkı da aynı beş paya bölünür; C'nin koordinatı, A'dan başlayıp ilk oranın gerektirdiği kadar ilerleyerek bulunur.

Orta nokta, oranlı bölmenin en sade halidir.

İki noktayı birleştiren doğru parçasının tam ortasında bulunan nokta, uç noktaların apsislerinin aritmetik ortalaması ve ordinatlarının aritmetik ortalamasıyla elde edilir.

Burada her iki uç nokta eşit ağırlıktadır.

Apsisler toplanıp ikiye bölünür, ordinatlar toplanıp ikiye bölünür.

Bu kural, daha sonra üçgenin ağırlık merkezi ve paralelkenarın merkezi anlatılırken de temel fikir olarak kullanılır; çünkü merkez arama işlemi çoğu kez koordinatların ortalamasına dayanır.

Üçgenin ağırlık merkezi, üç köşe noktasının koordinatlarından bulunur.

A, B ve C köşelerinin apsisleri toplanıp üçe bölündüğünde ağırlık merkezinin apsisi elde edilir.

Aynı şekilde üç ordinat toplanıp üçe bölündüğünde ağırlık merkezinin ordinatı bulunur.

Bu nokta, üçgenin köşe koordinatlarının ortalama konumudur.

Örneğin apsisler dört, iki ve üç ise toplam dokuzdur ve ortalama üç olur.

Ordinatlar iki, beş ve sekiz ise toplam on beştir ve ortalama beş olur.

Ağırlık merkezi üçe beş olarak okunur.

Paralelkenar ve onun özel halleri olan dikdörtgen, kare ve eşkenar dörtgende merkez, köşegenlerin kesiştiği noktadır.

Köşegenler birbirini ortaladığı için bu kesişim noktası karşılıklı köşeleri birleştiren doğru parçalarının orta noktasıdır.

Bu yüzden karşılıklı köşelerin apsisleri toplamı birbirine eşit olur; ordinatları toplamı da birbirine eşit olur.

Bir paralelkenarda A ile C karşılıklı, B ile D karşılıklı ise, A'nın apsisi ile C'nin apsisi toplamı B'nin apsisi ile D'nin apsisi toplamına eşittir.

Aynı eşitlik ordinatlar için de kurulur.

Paralelkenar sorularında bilinmeyen koordinat bu toplam eşitliklerinden bulunur.

Bir karşılıklı köşe çiftinin apsis toplamı biliniyorsa, diğer çiftin apsis toplamı aynı değeri vermelidir.

Ordinatlar için de aynı yol izlenir.

Bu yöntem, köşegenlerin orta noktalarının aynı olmasına dayanır.

Soruda bir köşenin apsisi a, ordinatı b gibi verilirse, önce karşılıklı köşe eşleşmesi doğru belirlenir.

Sonra apsis toplamları ve ordinat toplamları ayrı denklemler gibi düşünülür.

Böylece a ve b değerleri bulunur.

Doğruya geçildiğinde en önemli kavram eğimdir.

Eğim, doğrunun x ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açıya bağlı olarak düşünülür; pratikte düşey uzunluğun yatay uzunluğa oranı kullanılır.

Bir doğru sağa yatıksa eğimi pozitif kabul edilir.

Sola yatık doğruda eğim negatiftir.

Yatay doğru için düşey değişim yoktur, bu yüzden eğim sıfırdır.

Dikey doğru için yatay değişim sıfır olduğundan eğim tanımsızdır.

Bu dört durum, şekil üzerinden hızlı yorum yapmayı sağlar.

İki noktası bilinen doğrunun eğimi, ordinatlar farkının apsisler farkına bölünmesiyle bulunur.

Önemli olan sırayı aynı tutmaktır.

İkinci noktanın ordinatından birinci noktanın ordinatı çıkarılıyorsa, paydada da ikinci noktanın apsisinden birinci noktanın apsisi çıkarılmalıdır.

Tersi de yapılabilir; yeter ki pay ve paydada aynı sıra korunsun.

Aksi halde işaret değişir ve özellikle negatif eğimli doğrularda yanlış sonuca gidilir.

Koordinatlar veya grafik verildiğinde önce iki nokta belirlenir, sonra düşey değişim yatay değişime oranlanır.

Grafik üzerinde eğim hesaplarken bazen formül yazmadan dik üçgen kurmak daha hızlıdır.

Doğru üzerinde iki belirgin nokta seçilir, bu iki nokta arasında yatay ve düşey uzunluklar okunur.

Düşey uzunluk yatay uzunluğa bölünür; işaret ise doğrunun sağa mı sola mı yatık olduğuna göre verilir.

Sağa yatık doğru için oran pozitif, sola yatık doğru için negatif alınır.

Bu yaklaşım, eksen üzerindeki noktalar için de geçerlidir: y ekseni üzerindeki noktanın apsisi sıfır, x ekseni üzerindeki noktanın ordinatı sıfırdır.

Sağlam çözüm, nokta koordinatlarını, oranı, ortalamayı ve eğim işaretini aynı sırayla kontrol etmektir.

Bu konularda en sık hata, tek bir yöntemi her şekle zorlamaktır.