Asal Çarpanlara Ayırma Konu Anlatımı

Asal çarpanlara ayırma, bir sayıyı onu oluşturan asal yapı taşlarına indirme işlemidir.

Asal sayı, 1'den büyük olan ve yalnızca 1 ile kendisine kalansız bölünebilen doğal sayıdır.

Bu tanımda iki farklı pozitif bölen bulunması önemlidir; bu nedenle 1 asal sayı sayılmaz.

2 en küçük asal sayıdır ve çift olan tek asal sayıdır.

3, 5, 7, 11 gibi sayılar da asal örneklerdir.

Asal olmayan ve 1'den büyük olan sayılar bileşik sayıdır; bunlar asal sayıların çarpımı biçiminde ifade edilebilir.

Bu ifade, sayının bölünebilme kimliğini ortaya çıkarır.

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırırken genellikle en küçük asal bölenle başlanır.

Sayı 2'ye bölünebiliyorsa mümkün olduğu kadar 2'ye ayrılır, sonra 3, 5, 7 ve sonraki asal bölenlerle devam edilir.

Her bölme adımı sayıyı küçültür ve işlem, bölüm 1 olunca tamamlanır.

Aynı asal çarpan tekrar tekrar geldiyse sonuç üslü biçimde yazılır.

Örneğin bir sayının içinde üç tane 2 ve iki tane 3 çarpanı varsa bu durum 2 üzeri 3 ile 3 üzeri 2 çarpımı olarak gösterilir.

Üsler, çarpanın kaç kez yer aldığını kısa ve okunur biçimde verir.

Asal çarpanlara ayırma, bölen sayısı sorularının ana yöntemidir.

Bir pozitif tam sayı p üzeri a, q üzeri b ve r üzeri c biçiminde yazılabiliyorsa, o sayının pozitif bölenleri bu asal çarpanların üsleri seçilerek oluşturulur. p çarpanı hiç alınmayabilir, bir kez alınabilir veya a kez alınabilir; yani a artı 1 seçenek vardır.

Aynı düşünce diğer asal çarpanlar için de geçerlidir.

Bu nedenle pozitif bölen sayısı, üslerin birer fazlasının çarpımıyla bulunur.

Negatif bölenler de istenirse pozitif bölen sayısının iki katı düşünülür; çünkü her pozitif bölen için bir de negatif karşılık vardır.

Bölen sayısı verilerek sayı sorulan problemlerde işlem ters yönden okunur.

Önce istenen bölen sayısı, üslerin birer fazlasının çarpımı şeklinde parçalanır.

Sonra bu parçalardan üsler elde edilir.

En küçük sayı isteniyorsa büyük üs küçük asal sayıya, daha küçük üsler sonraki asal sayılara verilmelidir.

Bunun nedeni, küçük asalın yüksek kuvvetinin sayıyı daha az büyütmesidir.

En büyük sayı sorularında ise ek koşul yoksa sınırsızlık doğabilir; bu yüzden soru genellikle belli aralık, basamak sayısı veya başka bir kısıt verir.

Kısıt okunmadan ezber strateji uygulanmaz.

Bu konu EBOB ve EKOK için zorunlu altyapıdır.

EBOB bulunurken ortak asal çarpanların küçük üsleri seçilir; EKOK bulunurken tüm asal çarpanların büyük üsleri alınır.

Bu kuralların çalışması için önce sayıların asal çarpan biçiminde doğru yazılması gerekir.

Ortak bölen aranan bir problemde sayının bütün çarpanlarını listelemek yerine asal yapıya geçmek işlemi hızlandırır.

Ortak kat aranan durumda da hangi asal çarpandan en fazla kaç tane gerektiği bu gösterimle anlaşılır.

Böylece büyük görünen sayılar daha küçük karar parçalarına ayrılır.

Asal çarpanlara ayırma sadeleştirme ve kesir işlemlerinde de kullanılır.

Bir kesrin pay ve paydasındaki ortak çarpanlar asal düzeyde görüldüğünde sadeleştirme güvenli yapılır.

Ancak toplama veya çıkarma içeren ifadelerde doğrudan sadeleştirme yapılamaz; önce çarpan halinde ortaklık bulunmalıdır.

Bu ayrım sınavda sık hata üreten noktalardan biridir.

Payda 12, pay 18 ise ortak asal çarpanlar üzerinden sadeleşme yapılabilir; fakat payda içinde toplam halinde bulunan bir ifadeyi paydaki tek terimle keyfi sadeleştirmek doğru değildir.

Asal yapı, hangi çarpanın gerçekten ortak olduğunu gösterir.

Asal çarpan sorularında özel durumlar önemlidir.

0'ın asal çarpanlara ayrılması standart biçimde ele alınmaz; çünkü 0 her pozitif tam sayıya bölünebilir ve asal çarpan yazımı tekil değildir.

1'in de asal çarpanı yoktur.

Negatif bir tam sayı söz konusuysa asal çarpanlarına ayırma genellikle mutlak değer üzerinden düşünülür ve işaret ayrıca korunur.

Bir sayının asal çarpanlarının toplamı, farklı asal çarpan sayısı, tüm çarpan sayısı veya asal bölen sayısı farklı isteklerdir.

Soruda asal çarpan sayısı deniyorsa tekrar eden çarpanların kaç kez sayılacağı ifadeye göre belirlenmelidir.

Asal çarpanlara ayırma, sayının asal bölenleri ile tüm bölenleri arasındaki farkı da netleştirir.

Bir sayının asal bölenleri yalnız asal olan çarpanlardır; tüm bölenleri ise bu asal çarpanların farklı üs seçimleriyle oluşan değerlerin tamamıdır.

Örneğin asal çarpanları iki farklı asal sayıdan oluşan bir sayı, bu iki asalın çarpımını da bölen olarak taşır; fakat bu çarpım asal olmayabilir.

Soru asal bölen sayısını istiyorsa farklı asal tabanlar sayılır.

Pozitif bölen sayısını istiyorsa üs seçenekleri çarpılır.

Bölenlerin tek mi çift mi olduğu soruluyorsa 2 çarpanının varlığı ve üs değeri ayrıca incelenir.

Tam kare ve tam küp koşulları da asal çarpan düzeniyle okunur.

Bir sayının tam kare olabilmesi için asal çarpanlarının üsleri çift olmalıdır.

Tam küp için üslerin üçün katı olması gerekir.

Bir sayıyı en küçük hangi değerle çarparsak tam kare olur veya hangi değere bölersek kare yapı kalır gibi sorularda eksik üs tamamlanır ya da fazla üs azaltılır.

Bu işlem sayı üzerinde rastgele deneme yapmaktan daha güvenlidir.

Üslerin paritesini görmek, özellikle büyük sayılarda hızlı karar verir.

Aralarında asal sayılar başlığı da bu konuyla bağlanır.

İki sayının ortak asal çarpanı yoksa bu sayılar aralarında asaldır.

Bu durum sayıların her birinin asal olmasını gerektirmez; 8 ve 9 gibi bileşik sayılar da ortak asal çarpan taşımadıkları için aralarında asal olabilir.

Aralarında asal iki sayının EBOB'u 1 olur ve EKOK'u çarpımlarına eşittir.

Kesir sadeleştirmede de pay ile payda aralarında asalsa kesir en sade haldedir.