Basit Eşitsizlikler Konu Anlatımı

Basit eşitsizlik, iki cebirsel ifade ya da sayı arasında büyüklük-küçüklük ilişkisi kuran matematik cümlesidir.

Bu ilişkide <, >, <= ve >= sembolleri kullanılır.

Eşitlikte iki tarafın aynı değere ulaşması aranırken eşitsizlikte hangi değerlerin bir tarafı diğerinden küçük veya büyük yaptığı incelenir.

Bu yüzden denklem çoğu kez tek bir sonuç verirken eşitsizlik birden çok sonuç verir. x < 4 ifadesi sadece bir sayıyı değil, 4’ten küçük bütün gerçek sayıları anlatır.

Konunun “basit” diye adlandırılması, kuralların az olduğu anlamına gelir; fakat sınav sorusunda küçük bir yön hatası bütün çözüm kümesini ters çevirebilir.

Eşitsizlikler çoğu adımda denklem gibi çözülür.

Her iki tarafa aynı sayı eklemek veya her iki taraftan aynı sayıyı çıkarmak sıralamayı bozmaz.

3 < 7 iken iki tarafa 5 eklenirse 8 < 12 olur; iki taraftan 2 çıkarılırsa 1 < 5 olur.

Bu mantık cebirsel ifadelerde de geçerlidir.

Bilinmeyenli terimler bir tarafta, sabit terimler diğer tarafta toplanır.

Soru 2x - 4 < 5 biçimindeyse önce 2x < 9 sonucuna gidilir.

Buraya kadar yapılan işlem denklem çözümünden farklı değildir.

Fark, sonucun x = 9/2 değil x < 9/2 biçiminde bir aralık anlamı taşımasıdır.

Çarpma ve bölmede yönün korunup korunmayacağı çarpılan veya bölünen sayının işaretine bağlıdır.

Pozitif bir sayı ile çarpma ya da pozitif bir sayıya bölme eşitsizlik yönünü değiştirmez.

2x < 10 ise her iki taraf 2’ye bölündüğünde x < 5 olur.

Çünkü pozitif çarpan sayı doğrusundaki sıralamayı aynı bırakır.

Negatif sayı ile çarpma veya negatif sayıya bölme ise sıralamayı tersine çevirir. -2x < 8 ifadesinde her iki taraf -2’ye bölünürse x > -4 olur.

Bu dönüşüm yapılmazsa bulunan aralık, doğru çözümün tam karşı tarafına düşer.

Yön değişiminin sebebi sayı doğrusuyla açıklanabilir.

1 < 3 doğrudur; fakat iki tarafı -1 ile çarptığımızda -1 ve -3 elde edilir.

Sayı doğrusunda -3, -1’in solundadır; yani yeni ilişki -1 > -3 olur.

Negatif çarpma, büyüklük sırasını ters çevirdiği için sembol de çevrilir.

Bu kural yalnız bilinmeyenin katsayısı negatif olduğunda değil, eşitsizliğin herhangi bir aşamasında negatif bir ifadeyle çarpma ya da bölme yapıldığında da geçerlidir.

Eğer çarpılan ifadenin işareti bilinmiyorsa işlem doğrudan yapılamaz; önce o ifadenin pozitif mi negatif mi olduğu ayrıca değerlendirilmelidir.

Çözüm kümesini yazarken aralık dili önemlidir. < ve > sembolleri sınır değerin çözüme dahil olmadığını gösterir; bu nedenle açık uç kullanılır. <= ve >= sembolleri sınır değerin de çözümde olduğunu gösterir; bu durumda kapalı uç düşünülür. x < 9/2 çözümünde 9/2 alınmaz, fakat x <= 9/2 çözümünde alınır.

Sonsuzluk hiçbir zaman ulaşılan bir sayı olmadığı için sonsuzluk tarafları daima açık yazılır.

Sınavda parantez-köşeli parantez gösterimi, sayı doğrusu veya sözel ifade aynı anlama gelebilir; aday hangi dil kullanılırsa kullanılsın uçların dahil olup olmadığını kontrol etmelidir.

Bileşik eşitsizliklerde bilinmeyen iki sınır arasında kalabilir. -2 < x + 1 <= 5 gibi bir ifadede ortadaki ifade izole edilirken her üç parçaya aynı işlem uygulanır.

Burada her taraftan 1 çıkarılır ve -3 < x <= 4 elde edilir.

Eğer her üç taraf negatif bir sayıya bölünecekse yönlerin tamamı ters çevrilir ve yazım sırası yeniden düzenlenir.

Bu tür sorularda yalnız ortadaki cebirsel ifadeye odaklanıp sağ ve sol sınırı unutmak sık görülen hatadır.

Her işlem üç bölüm üzerinde aynı anda yapılmalı, son aralık tek parça hâlinde okunmalıdır.

KPSS’de basit eşitsizlikler çoğu zaman tam sayı, doğal sayı veya pozitif tam sayı koşuluyla birleşir.

Çözüm aralığı bulunduktan sonra soru kökünün istediği sayı kümesi ayrıca uygulanır. -3 < x <= 4 aralığında gerçek sayılar sonsuzdur; fakat tam sayılar -2, -1, 0, 1, 2, 3 ve 4’tür.

Doğal sayı istenirse başlangıç kümesinin 0’ı içerip içermediği kabulüne ve sorunun diline dikkat edilir.

Pozitif tam sayı dendiğinde 1’den başlanır.

En küçük değer, en büyük değer, kaç farklı değer veya değerler toplamı gibi istekler ancak bu filtrelemeden sonra cevaplanır.

Eşitsizlik sorularında karşılaştırma mantığı da önemlidir.

Bazen eşitsizlik doğrudan çözülmez, seçeneklerdeki ifadelerin alabileceği değerler kıyaslanır.

Bir sayının belirli aralıkta olduğu verildiğinde o sayıyla kurulan kesir, toplam veya çarpımın en büyük-en küçük değeri sorulabilir.

Pozitif çarpanla büyüklük ilişkisi korunurken negatif çarpanla yön değişeceği için özellikle çarpım ve bölümlerde işaret kontrolü yapılmalıdır.

Payda sıfır olamaz; bu tür yasak değerler aralıktan ayrıca çıkarılır.

Bu, “çözüm kümesi bulundu” sanılan bir soruda son anda seçenek değiştirebilecek bir ayrıntıdır.

Parametreli eşitsizliklerde koşulun hangi tarafta olduğu da dikkat ister. a pozitifse ax < b eşitsizliğini a’ya bölmek yönü korur; a negatifse yön ters döner; a sıfırsa bilinmeyenli terim ortadan kalkar ve geriye doğru ya da yanlış olabilecek sayısal bir ifade kalır.

Bu yüzden işareti bilinmeyen katsayıyla bölme yapılacaksa önce durumlara ayrılmalıdır.

KPSS’de bu tarz sorular genellikle “her x için”, “çözüm kümesi boş küme”, “çözüm kümesi gerçek sayılar” gibi ifadelerle gelir.

Adayın yalnız cebirsel işlem değil, eşitsizliğin hangi değerlerde anlamlı sonuç ürettiğini de değerlendirmesi beklenir.

Kesirli eşitsizliklerde payda kontrolü ayrıca yapılır.

Payda sıfır yapan değer tanımsızdır ve çözüm kümesine alınamaz.

Bir kesrin pozitif ya da negatif olması pay ve paydanın işaretlerine bağlıdır; bu durumda kritik noktalar sayı doğrusuna yerleştirilir ve aralıkların işareti incelenir.

Basit eşitsizlik altyapısı burada da çalışır: sınırlar bulunur, açık-kapalı uçlar belirlenir, yasak değerler çıkarılır.