Bölünebilme Kuralları Konu Anlatımı

Bölünebilme, bir bölme işleminde kalanın sıfır olması demektir.

A sayısı B sayısına bölündüğünde A = B·C + K bağıntısı kurulur ve kalan her zaman 0 ile bölen arasında yer alır.

Kalan sıfırsa sayı o bölenle tam bölünür; kalan sıfır değilse bölme işlemi tamamlanmış olsa bile bölünebilme yoktur.

KPSS’de bu başlıkta amaç çoğu zaman uzun bölme yapmak değil, sayının belirli basamaklarına veya rakamları toplamına bakarak hızlı karar vermektir.

Bu yüzden her kuralı ezber cümlesi olarak değil, hangi parçanın incelendiğini gösteren bir kontrol yolu olarak düşünmek gerekir.

2 ile bölünebilme en temel son basamak kuralıdır.

Bir sayının birler basamağı 0, 2, 4, 6 veya 8 ise sayı 2 ile tam bölünür.

Birler basamağı tek rakamsa 2 ile bölümünden kalan 1 olur.

Bu bilgi, özellikle içinde bilinmeyen rakam bulunan sayılarda hızlı eleme sağlar.

Örneğin dört basamaklı bir sayının 2 ile bölünebildiği söyleniyorsa yalnız son basamaktaki rakamın çift olması yeterlidir; diğer basamaklar bu kuralı bozmaz.

Soruda rakamların farklı olması gibi ek koşullar varsa önce son basamak için uygun değerler bulunur, sonra ek koşul uygulanır.

3 ve 9 ile bölünebilme rakamlar toplamına dayanır.

Bir sayının rakamları toplamı 3’ün katıysa sayı 3 ile, 9’un katıysa sayı 9 ile tam bölünür.

Kalan sorularında da aynı indirgeme kullanılır: sayının 3’e veya 9’a bölümünden kalan, rakamlar toplamının aynı sayıya bölümünden kalanla aynıdır.

Büyük sayılar, çarpımlar veya çok basamaklı ifadeler bu yüzden küçük toplamlara indirilebilir.

3 kuralının sağlanması 9 kuralının sağlandığı anlamına gelmez; 9 daha güçlü bir koşuldur.

Rakamlar toplamı 18 olan bir sayı hem 3’e hem 9’a bölünürken, toplamı 12 olan bir sayı 3’e bölünür ama 9’a bölünmez.

4 ile bölünebilmede son iki basamak incelenir.

Son iki rakam 00 ise veya oluşturduğu iki basamaklı sayı 4’ün katıysa sayı 4 ile tam bölünür.

Daha önceki basamaklar bu kontrol için etkili değildir.

Bu nedenle 245A gibi bir ifadede 4 ile bölümden kalan soruluyorsa 5A sayısına bakmak yeterlidir.

Kalan da aynı mantıkla bulunur: abcd sayısının 4 ile bölümünden kalan, cd sayısının 4 ile bölümünden kalandır.

Bu kural, bilinmeyen son basamak sorularında seçenekleri çok hızlı daraltır; fakat son iki basamak yerine yalnız son rakama bakmak hatalı sonuç verir.

5 ve 10 ile bölünebilme de birler basamağı üzerinden okunur.

Birler basamağı 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.

Bir sayının 5’e bölümünden kalan, birler basamağındaki rakamın 5’e bölümünden kalanla aynıdır.

Bu yüzden son rakam 4 ise kalan 4, son rakam 8 ise kalan 3 olur.

10 ile bölünebilme ise daha dar bir koşuldur: birler basamağı sıfır olmalıdır.

10’a bölümde kalan doğrudan birler basamağıdır.

Bu iki kural karıştırılmamalıdır; sonu 5 olan sayı 5’e bölünür ama 10’a bölünmez.

8 ile bölünebilmede son üç basamak kullanılır.

Son üç rakam 000 ise veya oluşturduğu üç basamaklı sayı 8’in katıysa sayı 8 ile tam bölünür.

Bir sayının 8 ile bölümünden kalan da son üç basamağın 8 ile bölümünden kalanla aynıdır.

Bu kuralın son iki basamakla değil son üç basamakla çalıştığı unutulmamalıdır.

Çok büyük bir sayıda baştaki basamakları taşımaya gerek yoktur; sadece son üç rakam yeterlidir.

Özellikle art arda gelen kalan sorularında, önce sayının ilgili bölenle kalanını bulup sonra daha küçük bir ifadeyle işlem yapmak zamanı azaltır.

11 ile bölünebilme kuralında basamaklar iki gruba ayrılır.

Sayının sonundan başlayarak birinci, üçüncü, beşinci basamakların rakamları toplanır; diğer basamaklardaki rakamların toplamı bundan çıkarılır.

Bulunan fark 0 ise veya 11’in katıysa sayı 11 ile tam bölünür.

Dört basamaklı abcd sayısı için kalan, (b + d) - (a + c) ifadesinin 11 ile bölümünden elde edilen kalanla aynıdır.

Fark negatif çıkarsa bu sonuç standart kalan aralığına taşınır; çünkü kalan negatif yazılmaz.

Örneğin fark -2 ise 11’e göre karşılığı 9’dur.

Bileşik sayılarda temel kurallar birlikte kullanılır.

İki bölen aralarında asal ise bir sayı bu bölenlerin ikisine de tam bölündüğünde çarpımlarına da tam bölünür.

6 için 2 ve 3, 12 için 3 ve 4, 15 için 3 ve 5, 20 için 4 ve 5, 30 için 3 ve 10 birlikte kontrol edilebilir.

18 için 2 ve 9, 36 için 4 ve 9, 45 için 5 ve 9 koşulları kullanılabilir.

Burada önemli nokta, seçilen parçaların çarpımının hedef sayıyı vermesi ve aralarında asal olmasıdır.

Örneğin 12 için 2 ve 6 demek yeterli bir ayrıştırma mantığı vermez; çünkü bu iki sayı aralarında asal değildir.

Kalanlı işlemlerde bölünebilme kuralları yine işe yarar, fakat önce kalan mantığı doğru kurulmalıdır.

Bir sayının x ile bölümünden kalan K ise, o sayı x’in bir katı ile K toplamı gibi düşünülebilir.

Toplamın kalanı, kalanların toplamının x ile bölümünden kalanına eşittir; farkta kalanların farkı alınır; çarpımda kalanlar çarpılarak yeniden bölene göre indirgenir.

Bu yüzden büyük ifadelerde bölünenlerin kendisi yerine kalanlarını yazmak yeterlidir.

Kalan, bölen kadar veya bölenin üzerinde çıkarsa tekrar bölünüp standart aralığa indirilir.

0 ≤ K < B şartı bu yüzden yalnız tanım değil, işlem kontrolüdür.

Bilinmeyen rakam sorularında kural seçildikten sonra bütün olası rakamlar aceleyle yazılmamalıdır.

Önce bölünebilme veya kalan koşulu uygulanır, sonra rakamların farklı olması, doğal sayı olması ya da en büyük değer istenmesi gibi ek bilgiler devreye sokulur.

Örneğin 5 ile bölümden kalan 4 deniyorsa son rakam 4 ya da 9 olabilir; aynı sayının 3 ile kalan koşulu da varsa rakamlar toplamı ayrıca denetlenir.