Rasyonel Sayılarda Dört İşlem Konu Anlatımı

Rasyonel sayı, paydası sıfır olmayan iki tam sayının oranı biçiminde yazılabilen sayıdır.

Bu yapı nedeniyle rasyonel sayılarda işlem yaparken payın, paydanın ve işaretin görevi ayrı ayrı izlenir.

Payda, parçanın büyüklüğünü belirler; pay ise bu parçalardan kaç tane alındığını gösterir.

Dört işlem kuralları bu anlam üzerine kurulur.

Toplama ve çıkarma için parçaların aynı büyüklüğe getirilmesi gerekirken, çarpma ve bölmede oranların çarpan yapısı kullanılır.

Hangi işlemde payda eşitlemenin gerekli olduğunu bilmek, gereksiz işlem yükünü azaltır.

Toplama işleminde paydalar eşitse paylar toplanır ve ortak payda korunur.

Paydalar farklıysa önce ortak payda bulunur.

Bu ortak payda genellikle paydaların EKOK'u seçilerek daha küçük tutulabilir; ancak basit sorularda paydaların çarpımı da ortak payda verir.

Her kesir yeni paydaya uygun katsayıyla genişletilir, sonra paylar işaretleriyle birlikte toplanır.

Sonuç sadeleşebiliyorsa sadeleştirilir.

Toplama sırasında payları kendi aralarında ve paydaları kendi aralarında toplamak doğru değildir; çünkü farklı büyüklükteki parçalar ortak ölçüye dönüştürülmeden birleştirilemez.

Çıkarma işlemi toplama ile aynı payda disiplinini kullanır, fakat işaret yönetimi daha hassastır.

İkinci kesrin tamamı çıkarıldığı için paydaki tüm terimler çıkarma işaretinden etkilenir.

Eğer ikinci kesrin payında parantezli veya çok terimli ifade varsa eksi işareti bütün paya dağıtılmalıdır.

Paydalar eşitlendikten sonra paylar cebirsel olarak çıkarılır.

Negatif kesirlerde eksi işaretinin payda, pay veya kesrin önünde yazılması değeri değiştirmeyebilir; ancak işlem satırında işaretin hangi ifadeye ait olduğu açık tutulmalıdır.

Bu nedenle parantez kullanmak hata riskini azaltır.

Çarpma işleminde paylar çarpılarak yeni pay, paydalar çarpılarak yeni payda elde edilir.

Payda eşitlemeye gerek yoktur.

Çarpma başlamadan önce paylardan biri ile paydalardan biri arasında ortak çarpan varsa sadeleştirme yapılabilir.

Bu işlem çapraz sadeleştirme olarak düşünülür ve yalnız çarpanlar arasında geçerlidir.

Sadeleştirme sonucu sayılar küçülür, işlem daha yönetilebilir olur.

Ancak pay veya payda toplam halindeyse terimler ayrı ayrı sadeleştirilemez; önce ortak çarpan olup olmadığı görülmelidir.

Bu ayrım, rasyonel ifadelerde doğru ve yanlış sadeleştirmeyi ayıran temel kuraldır.

Bölme işleminde birinci kesir olduğu gibi bırakılır, ikinci kesir ters çevrilir ve işlem çarpmaya dönüştürülür.

Ters çevirme, bölen kesrin çarpmaya göre tersini kullanmak demektir.

Bölen kesir sıfır olamaz; çünkü sıfıra bölme tanımsızdır.

İkinci kesir ters çevrildikten sonra çarpma kuralları uygulanır ve mümkünse sadeleştirme yapılır.

Karmaşık kesirlerde, yani kesir çizgisinin üstünde ve altında ayrıca kesirli ifadeler olduğunda, ana kesir çizgisi bölme anlamı taşır.

Önce üst ve alt ifadeler kendi içinde düzenlenir, sonra üstteki ifade alttaki ifadeye bölünür.

İşlem sırası rasyonel sayılarda sonucun kaderini belirler.

Önce parantez içleri ve ana kesir çizgisinin üstü ile altı ayrı ayrı tamamlanır.

Sonra varsa üs işlemleri yapılır.

Ardından çarpma ve bölme soldan sağa, en son toplama ve çıkarma soldan sağa uygulanır.

Kesir çizgisi çoğu zaman görünmeyen bir parantez gibi davranır; çizginin üstündeki toplam bitmeden aşağıdaki ifadeyle işlem yapılmaz.

Bu özellikle uzun kesirlerde ve seçenekli sorularda önemlidir.

İşlem sırası bozulursa kullanılan kurallar doğru olsa bile sonuç yanlış çıkar.

Ondalık sayılarla verilen rasyonel işlemlerde önce gösterimi uygun hale getirmek gerekir.

Sonlu ondalıklar basamak değerine göre kesre çevrilebilir.

Devirli ondalıklar tekrar eden kısmın düzenine göre rasyonel biçime alınabilir.

Bazı sorularda ondalık gösterimle işlem yapmak pratik olabilir; fakat kesirli yapı, ortak payda ve sadeleştirme avantajı sağlıyorsa kesre dönüşmek daha güvenlidir.

Yüzde, oran ve denklem sorularında rasyonel işlemler çoğu zaman arka planda yer alır.

Bu nedenle yalnız bağımsız işlem sorusu gibi değil, problem çözmenin aracı olarak da görülmelidir.

Negatif sayılarla işlem yaparken işaret kuralları kesir kurallarıyla birlikte yürür.

Aynı işaretli sayıların çarpımı ve bölümü pozitif, farklı işaretlilerin çarpımı ve bölümü negatiftir.

Toplama ve çıkarma işlemlerinde ise sayı doğrusundaki yön düşünülür; ortak payda kurulduktan sonra payların işaretli toplamı alınır.

Bir eksi işareti kesrin tamamının önündeyse paya taşınabilir, fakat işlem sırasında yanlışlıkla yalnız ilk terime uygulanmamalıdır.

Özellikle eksi parantez ve kesir çizgisi yan yana geldiğinde, önce yapısal sınırları belirlemek gerekir.

Tam sayılı kesirlerle işlem yapılacaksa çoğu zaman önce bileşik kesre çevirmek en temiz yoldur.

Tam kısım ile kesirli kısmı ayrı ayrı işlemek bazı toplama sorularında pratik görünse de çarpma ve bölmede hataya açıktır.

Bileşik kesre dönüşümden sonra genel kurallar uygulanır.

Sonuç istenirse yeniden tam sayılı biçime çevrilebilir.

Bu dönüşüm sırasında işaret tüm değere ait olmalıdır.

Negatif tam sayılı kesirlerde yalnız tam kısmı negatif, kesirli kısmı pozitif gibi yorumlamak işlemi bozar.

Standart yaklaşım, değeri tek bir kesir olarak görmek ve işareti baştan sona korumaktır.

Ana kesir çizgili sorularda üst ve alt bölüm bağımsız işlem alanlarıdır.

Üstte toplama varsa üst bölüm tamamlanmadan bölme aşamasına geçilmez.

Altta çıkarma veya çarpma varsa o bölüm de kendi işlem sırasıyla sadeleştirilir.

Sonra üstte oluşan kesir, altta oluşan kesre bölünür.

Bu yapı özellikle karmaşık rasyonel ifadelerde görünür.

Öğrenci çoğu zaman çizgiyi sıradan bölme işareti gibi okuyup işlemlere karışık başlar.

Oysa çizgi, hem bölme anlamı taşır hem de üst ve alt ifadeyi parantez içine alır.

Bu bakış, uzun işlemleri daha kontrollü yapar.

Sadeleştirme zamanlaması da stratejiktir.

Toplama ve çıkarma tamamlanmadan payların içindeki terimleri paydadaki çarpanlarla sadeleştirmek genellikle yanlıştır.

Çarpma ve bölme aşamasında ise çarpanlar açıkça görüldüğünde erken sadeleştirme avantaj sağlar.