Üslü Sayılar Konu Anlatımı

Üslü sayılar konusunda güvenli ilerlemek için ilk bakılacak şey işlem türüdür.

Aynı semboller toplama içinde başka, çarpma içinde başka davranır.

Bu yüzden bir ifadeyi görür görmez üslere işlem yapmak doğru değildir.

Önce arada artı mı, eksi mi, çarpma mı, bölme mi bulunduğu okunur.

Sonra tabanların ve üslerin ortak olup olmadığına bakılır.

Kaynaktaki anlatımın ana çizgisi de bu ayrımdır: toplama ve çıkarma ortak parantezle, çarpma ve bölme ise aynı taban veya aynı üs ilişkisiyle yürür.

Toplama ve çıkarma işlemlerinde üslü ifadeler aynıysa ortak parantez alınır.

Burada yapılan işlem, üssü büyütmek değildir; aynı türden kaç tane bulunduğunu toplamaktır.

Örneğin 5 tane 2 üzeri 7 ile 4 tane 2 üzeri 7 toplandığında ortak olan 2 üzeri 7 dışarı alınır ve katsayılar 5 ile 4 olarak içeride toplanır.

Sonuç 9 çarpı 2 üzeri 7 olur.

Bu örnek, toplamada üslü kısmın korunup katsayıların değiştiğini açık gösterir.

Aynı mantık çıkarma için de geçerlidir.

3 tane 11'in karesi, 2 tane 11'in karesi ve eksi 4 tane 11'in karesi birlikte verildiğinde ortak ifade 11'in karesidir.

Katsayılar 3 artı 2 eksi 4 biçiminde hesaplanır ve geriye bir tane 11'in karesi kalır.

Yazılmayan katsayının 1 sayılması da buradan anlaşılır.

4 üzeri 5 ifadesi tek başına yazıldığında aslında 1 çarpı 4 üzeri 5 demektir; üç kez yan yana toplandığında üç tane 4 üzeri 5 elde edilir.

Toplama ve çıkarmada ortak parantez alınabilmesi için üslü ifadelerin aynı hâle gelmesi gerekir.

Aynı değillerse önce birbirine benzetme aranır.

3 üzeri 7 artı 5 çarpı 3 üzeri 6 ifadesinde terimler doğrudan aynı değildir; biri 3 üzeri 7, diğeri 3 üzeri 6 içerir.

3 üzeri 7, 3 çarpı 3 üzeri 6 biçiminde ayrılır.

Böylece iki terimde de 3 üzeri 6 ortak olur.

Ortak parantez alındığında içeride 3 ve 5 kalır; sonuç 8 çarpı 3 üzeri 6 biçiminde yazılır.

Bu bölümdeki en önemli uyarı, toplama ve çıkarmada aynı olmayan üslü ifadelerin zorla birleştirilemeyeceğidir.

Taban veya üs benziyor diye üslere doğrudan işlem yapılmaz.

Önce bütün üslü kısmın aynı olup olmadığı kontrol edilir.

Aynıysa ortak parantez alınır.

Aynı değilse parçalama yoluyla aynı yapılabiliyor mu diye bakılır.

Bu benzetme yapılamıyorsa toplama veya çıkarma kuralı uygulanamaz; ifade verilen hâliyle kalır ya da başka bir düzenleme beklenir.

Çarpma işleminde kural değişir.

Çarpma ve bölmede kaynak iki durum üzerinde durur: ya tabanlar aynı olur ya da üsler aynı olur.

Tabanlar aynıysa çarpma yapılırken üsler toplanır.

7 üzeri 5 ile 7 üzeri 2 çarpıldığında taban 7 olarak kalır, üsler 5 ve 2 olarak birleşir.

Sonuç 7 üzeri 7 olur.

Bunun nedeni, aynı tabandan gelen çarpanların tek bir uzun çarpım gibi düşünülmesidir.

Çarpmada ikinci yol, üslerin aynı olmasıdır.

Üsler aynıysa tabanlar çarpılır ve ortak üs korunur.

2 üzeri 3 ile 5 üzeri 3 çarpıldığında her iki ifadede de üçüncü kuvvet vardır.

Bu durumda tabanlar 2 ve 5 olarak çarpılır, sonuç 10 üzeri 3 biçiminde yazılır.

Benzer şekilde 7 üzeri 4 ile 2 üzeri 4 çarpılırsa 14 üzeri 4 elde edilir.

Burada dikkat, aynı üs şartının gerçekten sağlanmasıdır; üsler farklıysa önce eşitleme imkânı aranır.

Bazen hem taban hem üs aynı görünebilir.

Böyle durumda iki düşünme yolu da aynı değere ulaşır.

2 üzeri 3 ile 2 üzeri 3 çarpılırken tabanlar aynı kabul edilirse üsler toplanır ve 2 üzeri 6 yazılır.

Üsler aynı kabul edilirse tabanlar çarpılır ve 4 üzeri 3 yazılır.

İki yazım da aynı çarpımı anlatır.

Bu örnek, kuralların ezber değil, çarpanları farklı biçimde gruplama işi olduğunu gösterir.

Bir üslü ifadenin yeniden kuvveti alındığında üsler çarpılır.

2 karesinin 3. kuvveti, 2 üzeri 2 çarpı 3 biçiminde okunur ve 2 üzeri 6 olur.

Değişkenli ifadelerde de aynı düzen görülür: x üzeri 3 ifadesinin 4. kuvveti x üzeri 12 olarak yazılır.

Burada parantezin neyi kapsadığı önemlidir.

Çünkü kuvvet, yalnız yakındaki sayıya değil, parantez içindeki üslü yapının tamamına uygulanıyorsa üslerin çarpılması gerekir.

Bölme işleminde aynı taban varsa üsler çıkarılır.

Payda ortak çarpanları azalttığı için, paydaki üsten paydadaki üs düşülür.

Aynı üs varsa bu kez tabanlar bölünür ve ortak üs korunur.

Bu kurallar çarpma kurallarıyla birlikte düşünülmelidir: çarpmada aynı tabanda toplama, bölmede aynı tabanda çıkarma; aynı üste ise çarpmada tabanları çarpma, bölmede tabanları bölme yapılır.

Eğer tabanlar doğrudan aynı değilse, sayılar ortak bir tabanın kuvveti olarak yazılabiliyor mu diye kontrol edilir.

Tabanları eşitleme, özellikle farklı görünen sayıların aynı tabandan üretildiği sorularda işe yarar.

16 ve 32 gibi sayılar doğrudan aynı değildir; fakat ikisi de 2 tabanına bağlanabilir.

Böyle bir durumda önce sayılar ortak tabanın kuvveti olarak yazılır, sonra dıştaki kuvvetler parantez kuralıyla içeri taşınır.

Ama bu işlem yine işlem türüne bağlıdır.

Çarpma veya bölme düzeni kurulmadan, sadece sayılar benziyor diye üsler rastgele toplanmaz ya da çıkarılmaz.

Parantezli eksi işareti üslü sayılarda ayrıca okunmalıdır.

Eksi işareti tabanın içinde, yani parantezin parçasıysa kuvvet bu işareti de etkiler.

Tek kuvvetlerde sonuç negatif kalabilir, çift kuvvetlerde eksi işaretleri çiftlendiği için pozitif sonuç oluşur.

Eksi işareti parantezin dışında duruyorsa kuvvet yalnız içerideki pozitif tabana uygulanır, dış eksi sonradan korunur.

Aynı sayılarla yazılmış iki ifade bu yüzden farklı sonuç verebilir.

Kaynaktaki örneklerin ortak sonucu şudur: işlem hangi kuralı çağırıyorsa yalnız o kural uygulanır.

Toplama çıkarma satırında ortak parantez, çarpma bölme satırında aynı taban veya aynı üs aranır.