Bölme Konu Anlatımı

Bölme işleminde temel amaç, dört niceliğin aynı eşitlik içinde nasıl bağlandığını görmektir.

A bölünen, B bölen, C bölüm ve K kalan olmak üzere işlem A = B·C + K biçiminde yazılır.

Bu eşitlik, bölme sorularının ana iskeletidir.

Bölünen sayı, bölen ile bölümün çarpımına kalanın eklenmesiyle bulunur.

Soruda hangi değer verilirse verilsin, eksik olan değere ulaşmak için önce bu eşitlik kurulmalıdır.

Ancak eşitlik tek başına yeterli değildir; bölme işleminin koşulları da aynı anda kullanılmalıdır.

Bölen sıfır olamaz.

Bu koşul bazen soru metninde özellikle vurgulanmaz, fakat bölme işleminin doğal sınırıdır.

İşlemde A, B, C ve K doğal sayılar olarak alınır ve B ≠ 0 şartı verilir.

Bu nedenle KPSS tarzı sorularda seçenek denenirken bölen yerine sıfır getiren olasılıklar elenir.

Aynı şekilde bölüm ya da kalan için verilen koşullar doğal sayı düzeni içinde okunur.

İşlem sembolünü görmek, bütün değerlerin serbestçe seçilebileceği anlamına gelmez; her değer temel bölme şartlarına uymalıdır.

Kalanın sınırı 0 ≤ K < B biçimindedir.

Bu ifade iki ayrı bilgiyi birlikte taşır.

Kalan negatif olamaz ve bölen kadar ya da bölenden büyük olamaz.

Örneğin kalan 10 olarak verilmişse bölen en az 11 olmalıdır.

Kalanın alabileceği en büyük değer, bölenin bir eksiğidir.

Bu bilgi özellikle en küçük bölünen, en büyük bölünen ya da bölünen olamaz sorularında belirleyicidir.

Aday yalnız A = B·C + K eşitliğini kurarsa bazı seçenekleri mümkün sanabilir; kalan sınırını eklediğinde gerçek cevap ortaya çıkar.

K = 0 ise tam bölünme vardır.

Tam bölünme, bölme konusunun özel bir durumudur; ayrı bir işlem mantığı değil, kalanlı bölmenin kalan sıfır olan hâlidir.

Bir sayının başka bir sayıya tam bölündüğü söylendiğinde A = B·C yazılabilir, çünkü K değeri sıfırdır.

Buna karşılık kalan sıfır değilse bölünen sayı bölenin tam katı değildir.

Bu ayrım bölünebilme kurallarıyla bağlantılı sorularda da kullanılır.

Bir sayının 5, 8, 9, 10 ya da 11 ile bölümünden kalan sorulduğunda amaç, sayıyı bölenin tam katına göre hangi artığın temsil ettiğini bulmaktır.

Bölme sorularında verilen sayısal bilgiler doğrudan eşitliğe çevrilmelidir. “857 sayısı iki basamaklı AB sayısına bölündüğünde bölüm 14, kalan 3” deniyorsa 857 = AB·14 + 3 yazılır.

Bu eşitlikten AB bulunur ve kalan koşulu ayrıca doğrulanır. “Bölen 13, bölüm 21” gibi bir bilgi verildiğinde bölünen 13·21 + K biçimindedir.

Kalan 0 ile 12 arasında olacağı için mümkün bölünenler bu aralıktan elde edilir. “Bölünen olamaz” türü sorularda ise seçenekler bu aralığa göre test edilir.

En küçük ya da en büyük değer sorularında kalan aralığı özellikle dikkat ister.

Kalan ve bölüm verilmişse bölüneni küçültmek için bölenin alabileceği en küçük uygun değer seçilir.

Kalan 10, bölüm 5 ise bölen 10 olamaz; çünkü kalan bölenle eşit olamaz.

Bölen en az 11 olur ve bölünen 11·5 + 10 biçiminde hesaplanır.

En büyük değer isteniyorsa verilen diğer koşulların izin verdiği en büyük bölen, bölüm ya da kalan seçilir.

Burada güvenli yol, önce eşitliği yazmak, sonra her değişkenin sınırını açıkça kontrol etmektir.

K < C ise bölen ile bölümün yer değiştirebilmesi, bölme işleminde özel bir kontrol noktasıdır.

Bu ifade, bir bölme işleminde bölen ve bölümün rollerinin değiştirileceği sorularda kullanılmalıdır.

A = B·C + K eşitliği çarpma kısmı bakımından simetrik görünür; B·C ile C·B aynı sonucu verir.

Fakat yeni işlemde kalan yine yeni bölenden küçük olmalıdır.

Bölen ile bölüm yer değiştirdiğinde yeni bölen C olacağı için K < C koşulu gerekir.

Bu koşul sağlanmıyorsa çarpım aynı olsa bile işlem geçerli bir bölme düzeni oluşturmaz.

Kalan aritmetiği, büyük sayılarla uğraşmadan sonuca ulaşmayı sağlar.

A sayısının x ile bölümünden kalan K1, B sayısının x ile bölümünden kalan K2 ise A + B toplamının x ile bölümünden kalan, K1 + K2 toplamının x ile bölümünden elde edilen kalandır.

Fark için aynı mantık K1 - K2 üzerinde uygulanır.

Aynı biçimde A² + A·B türü bir ifadede, A ve B yerine aynı bölenle verdikleri kalanların yazılabileceği görülür.

Bu yöntem, “kalan kaçtır” sorularında bölünen yerine kalan yazma fikrine dayanır.

Kalanlarla işlem yaparken son adım indirgemedir.

K1 + K2 ya da K1 - K2 doğrudan cevap olmayabilir; bulunan değer yeniden aynı bölenle bölünüp kalan aralığına taşınmalıdır.

Örneğin 11 ile bölümde kalanlar 9 ve 7 ise çarpım için 9·7 = 63 bulunur, fakat 63 cevap olarak bırakılmaz; 63’ün 11 ile bölümünden kalan alınır.

Fark negatif çıkarsa da aynı düşünce geçerlidir.

Standart kalan 0 ile bölenin bir eksiği arasında olmalıdır.

Bu nedenle kalan aritmetiğinde işlem kadar son indirgeme de zorunludur.

Ardışık bölme sorularında ilk işlemden çıkan bölüm ikinci işlemde yeni bölünen olabilir.

A sayısı 8 ile bölündüğünde bölüm B ve kalan 7 ise A = 8B + 7 yazılır.

Sonra B sayısının 9 ile bölümünden bölüm C, kalan 5 deniyorsa B = 9C + 5 olur.

Bu iki eşitlik birleştirildiğinde A’nın başka bir bölenle kalanına ulaşılabilir.

Böyle sorularda öğrencinin yaptığı en yaygın hata, ikinci bölmenin kalanını doğrudan ilk sayının kalanı sanmaktır.

Her işlem kendi böleni, bölümü ve kalanıyla ayrı eşitlik kurar.

Basamaklı sayı sorularında da aynı bölüm-kalan mantığı kullanılır.

Bir sayının belirli bir bölenle bölümünden kalan sorulduğunda sayı çoğu zaman basamak değerlerine ayrılır ya da verilen başka sayıyla ilişkilendirilir.

Amaç, büyük sayıyı doğrudan bölmek değil, bölüneni aynı kalanı verecek daha küçük bir ifadeye dönüştürmektir.