Sayma Sistemleri Konu Anlatımı

Sayma sistemleri başlığı KPSS matematiğinde daha çok onluk sistemde basamak analizi olarak kullanılır.

Bir sayıyı yalnız yan yana yazılmış semboller gibi görmek yerine, her rakamın bulunduğu basamak kadar değer kazandığını düşünmek gerekir.

İki basamaklı AB doğal sayısında A onlar basamağında, B birler basamağındadır; bu yüzden AB = 10A + B biçiminde çözümlenir.

Üç basamaklı ABC sayısı 100A + 10B + C, dört basamaklı ABCD sayısı 1000A + 100B + 10C + D olur.

Bu yazımlar ezberden çok çeviri aracıdır: soru metnindeki “sayının rakamları toplamının katı”, “ters çevrilmiş hâli”, “şu sayıdan şu kadar fazla” gibi ifadeler bu çözümleme sayesinde denkleme dönüşür.

Rakamlarla çalışırken ilk sınır her zaman değer aralığıdır.

A, B, C, D birer rakamsa her biri 0 ile 9 arasındadır.

Ancak AB, ABC veya ABCD gibi çok basamaklı bir doğal sayıdan söz ediliyorsa en soldaki rakam sıfır olamaz; AB için A, ABC için A, ABCD için A en az 1 olmalıdır.

Soruda “rakamları farklı” deniyorsa bulunan değerlerin birbirinden ayrılığı ayrıca denetlenir.

Bir denklem doğru göründüğü hâlde ilk basamak sıfır çıkıyorsa ya da iki rakam eşitleniyorsa o aday sayı geçersizdir.

Bu kontrol özellikle en büyük, en küçük veya kaç farklı sayı sorularında sonucu değiştirir.

İki basamaklı çözümlemenin en sık kullanıldığı biçim AB ile BA karşılaştırmasıdır.

AB = 10A + B ve BA = 10B + A olduğundan toplamları 11A + 11B, yani 11(A + B) olur.

Bu nedenle AB + BA verilmişse önce toplamın 11’e bölünebilirliği ve A + B değeri düşünülür.

Farkta ise AB - BA = 10A + B - 10B - A = 9(A - B) bulunur.

Demek ki basamakları yer değiştiren iki basamaklı sayılar arasındaki fark, rakam farkının 9 katıdır.

Burada A ile B’nin sırası önemlidir; A büyükse AB - BA pozitif, B büyükse aynı büyüklük BA - AB tarafında görünür.

Sözel koşullu iki basamaklı sorularda çözüm genellikle bir cümlenin denkleme çevrilmesiyle başlar. “AB sayısı rakamları toplamının 5 katıdır” denirse 10A + B = 5(A + B) yazılır. “AB sayısının 3 katı BA sayısının 8 katına eşittir” denirse 3(10A + B) = 8(10B + A) kurulur. “Sayının 6 fazlasının yarısı, rakamları yer değiştirilmiş sayıya eşittir” gibi bir ifade de aynı mantıkla yazılır.

Denklem sadeleştirildikten sonra A ve B’nin rakam olduğu unutulmaz; bazen denklem tek başına sonsuz sayı ilişkisi verir, fakat rakam aralığı bu ilişkiyi birkaç adayla sınırlar.

Tekrarlı rakamlı sayılar da aynı basamak mantığının kısa yazımıdır.

AA iki basamaklı sayısı 10A + A = 11A, BB sayısı 11B olur.

Bu nedenle AA + BB = 11(A + B) biçiminde okunur.

Soruda (AA)^2 veya (BB)^2 gibi ifadeler varsa önce AA’nın gerçekten 11A olduğu görülür; sonra işlem buna göre yapılır.

Burada AA, A çarpı A değildir; yan yana yazılmış iki basamaklı bir sayıdır.

Aynı dikkat AB için de geçerlidir: AB ifadesi A ile B’nin çarpımı değil, 10A + B değeridir.

Çarpım istenirse soru açıkça A·B gibi gösterir.

Üç basamaklı sayılarda toplama kalıpları daha da belirginleşir.

ABC + BCA + CAB toplamında A, B ve C rakamlarının her biri bir kez yüzler, bir kez onlar, bir kez birler basamağında yer alır.

Bu yüzden toplam 111A + 111B + 111C = 111(A + B + C) olur.

Benzer biçimde AB + BC + CA toplamı 11(A + B + C) verir.

Bu kalıplar yalnız aynı döngü düzeni varsa kullanılmalıdır.

Harfler farklı sırayla verilmişse önce hangi rakamın hangi basamakta kaç kez bulunduğu sayılır; sonra katsayılar toplanır.

Böylece ezber kalıbı yanlış soruya uygulanmamış olur.

Çıkarma işlemlerinde temel fikir, yer değiştiren basamakların basamak değeri farkı ile rakam farkının birlikte çalışmasıdır.

AB - BA için onlar ile birler basamağı arasındaki değer farkı 9 olduğu için sonuç 9(A - B) olur.

ABC - BAC işleminde A ile B yüzler ve onlar basamaklarında yer değiştirir; basamak değeri farkı 100 - 10 = 90 olduğundan fark 90(A - B) olur.

ABC - CBA işleminde A ile C yüzler ve birler basamaklarında karşılıklı değiştiği için fark 99(A - C) biçimindedir.

Dört basamaklı örneklerde de aynı mantık sürer: ABCD - CBAD ifadesinde A ile C’nin binler ve onlar konumlarındaki etkisi 990(A - C) olarak okunur; ABCD - DBCA için A ile D arasındaki etki 999(A - D) olur.

Özel çözümleme, genel çözümlemenin daha kısa yazılmış hâlidir.

Aynı soruda üç basamaklı ABC sayısı ile iki basamaklı BC sayısı birlikte geçiyorsa ABC = 100A + BC biçiminde düşünmek zaman kazandırır.

Çünkü BC zaten 10B + C değeridir.

Aynı şekilde ABC ile AB birlikte verilmişse ABC = 10(AB) + C yazılabilir.

Dört basamaklı ABCD sayısında ABCD = 10(ABC) + D veya ABCD = 100(AB) + CD biçimleri de kullanılabilir.

Bu yöntem yeni bir kural değildir; yalnız mevcut basamak çözümlemesini soruda geçen daha büyük parçalarla yazmaktır.

Parçanın gerçekten sayı olarak verildiğinden emin olmak gerekir; örneğin AB iki basamaklı sayıysa A sıfır olamaz.

Basamak değeri değişimi sorularında bir rakam artırılıp azaltıldığında sayının ne kadar değiştiği sorulur.

Bir sayının yüzler basamağı 2 artırılırsa sayı 200 artar; onlar basamağı 3 azaltılırsa 30 azalır.

Üç basamaklı ABC sayısında yüzler basamağı 3 artırılıp onlar basamağı 7 azaltılıp birler basamağı 5 artırılırsa değişim 3·100 - 7·10 + 5·1 = 235 olur.

Bu tip sorularda yeni sayıyı baştan kurmak yerine her basamağın katkısı ayrı yazılır.

Birden çok sayıya aynı değişiklik uygulanıyorsa bulunan değişim sayı adediyle çarpılır.

Basamak analizi sorularında sağlam çözüm sırası bellidir.