Permütasyon - Kombinasyon - Olasılık Konu Anlatımı

Sayma sorularında ilk amaç formül ezberlemek değil, kaç farklı durumun gerçekten oluştuğunu görmektir.

Bu başlıkta permütasyon, kombinasyon ve olasılık birlikte anılsa da sağlam ilerleyiş saymanın temel kurallarından başlar.

Çünkü olasılıkta pay ve payda, kombinasyonda seçim sayısı, permütasyonda ise diziliş sayısı hep doğru saymaya dayanır.

Bu nedenle önce toplama yoluyla sayma ve çarpma yoluyla sayma ayrımı kurulmalıdır.

Soru küçük görünse bile hangi durumda tek seçim yapıldığını, hangi durumda birden fazla kararın aynı sonucu oluşturduğunu ayırmak gerekir.

Toplama yoluyla sayma, ayrık seçenekler arasında yalnız bir tercihin yapılacağı durumlarda kullanılır.

Ayrık demek, aynı sonucun iki kümeye birden ait olmaması demektir.

Bir kişi ya gömlek ya da tişört seçecekse iki türden yalnız biri alınır; bu yüzden seçenek sayıları toplanır.

Soruda “veya” ya da “ya da” bağlacı görülüyorsa çoğu zaman toplama düşünülür.

Ancak bu işaret ezber gibi kullanılmamalıdır; asıl kontrol, istenen sonucun tek parçadan oluşup oluşmadığıdır.

Tek nesne seçiliyorsa ve seçenek grupları çakışmıyorsa toplam sayıya ulaşmak için kümelerin eleman sayıları eklenir.

Çarpma yoluyla sayma, bir sonucun birden fazla parçanın birlikte belirlenmesiyle oluştuğu durumlarda kullanılır.

Bir kişi hem gömlek hem pantolon seçecekse artık tek tercih yoktur; önce üst parça, sonra alt parça belirlenir ve ikisi birlikte bir kıyafet oluşturur.

Her gömlek seçimi, pantolonların her biriyle eşleşebildiği için seçenek sayıları çarpılır.

Soruda “ve” bağlacı, birlikte seçilecek nesneler veya ardışık kararlar varsa çarpma mantığı aranır.

Burada önemli nokta, her aşamanın sonucu tamamlayan ayrı bir parça olmasıdır.

Permütasyonun zemini bu çarpma mantığıdır.

Belirli yerlere farklı nesneler yerleştiriliyorsa veya rakamlarla sayı yazılıyorsa, her yer için kaç seçenek kaldığı sırayla belirlenir.

Üç basamaklı bir sayı yazarken yüzler, onlar ve birler basamağı ayrı kararlar gibi düşünülür.

Rakam tekrarı yasaksa ilk seçimden sonra kullanılan rakam tekrar kullanılamaz ve seçenek sayısı azalır.

Tekrar serbestse aynı rakam sonraki basamaklarda yeniden kullanılabilir.

Bu ayrım, çözümdeki çarpanların değişip değişmeyeceğini belirler.

Basamak sorularında başlama sırası önemlidir.

Yüzler basamağına sıfır gelememesi, sayının çift olması, belirli rakamların kullanılması veya kullanılmaması gibi koşullar varsa önce en kısıtlı yer düşünülmelidir.

Örneğin çift sayı isteniyorsa birler basamağı özel hale gelir; üç basamaklı sayı isteniyorsa yüzler basamağı da sıfır kısıtı taşır.

Böyle durumlarda rastgele soldan sağa gitmek yerine şartların bağlı olduğu basamakları önce yerleştirmek hata riskini azaltır.

Her yer doldurulduktan sonra kalan seçenek sayıları çarpılarak toplam diziliş bulunur.

Permütasyonda sıra önemlidir.

Aynı kişiler farklı koltuklara oturduğunda, aynı rakamlar farklı basamaklara geçtiğinde veya aynı harfler farklı sıraya dizildiğinde yeni bir durum oluşuyorsa permütasyon mantığı vardır.

Bu nedenle “kaç farklı sayı yazılabilir”, “kaç farklı üçlü vardır”, “kaç farklı diziliş yapılabilir” gibi ifadeler seçimin yanında yerleşim sırasını da düşündürür.

Sadece hangi nesnelerin seçildiği değil, nerede durdukları da sonucu değiştirir.

Bu yüzden permütasyon sorularında her sıra veya yer ayrı ayrı önem kazanır.

Faktöriyel, permütasyonda sık kullanılan ardışık çarpım gösterimidir. n faktöriyel, n’den 1’e kadar olan pozitif tam sayıların çarpımıdır.

Tüm farklı nesneler sıraya diziliyorsa birinci yer için n seçenek, ikinci yer için n - 1 seçenek, üçüncü yer için n - 2 seçenek devam eder ve bu çarpım n faktöriyel biçiminde yazılır.

Faktöriyel, işlemi kısaltır; fakat arkasındaki düşünce yine çarpma yoluyla saymadır.

Bu yüzden formülü yazmadan önce hangi yerlerin doldurulduğu ve her yerde kaç seçenek bulunduğu anlaşılmalıdır.

Kısıtlı dizilişlerde acele formül kullanmak yerine durumun yapısı kurulmalıdır.

Bir yere belirli bir kişinin gelmesi isteniyorsa o yer sabitlenir ve kalan yerler kalan kişilerle doldurulur.

Bir rakamın kullanılmaması isteniyorsa seçenek kümesi baştan daralır.

Farklılık şartı varsa her seçimden sonra kullanılan nesne düşülür.

Soruda “farklı” kelimesi özellikle önemlidir; çünkü tekrarın yasaklandığını gösterir.

Tekrar serbest olan sorularda ise her aşamada aynı seçenek sayısı korunabilir.

Bu ayrım, aynı görünümlü iki sorunun sonucunu tamamen değiştirebilir.

Toplama ile çarpma aynı soruda birlikte bulunabilir.

Önce iki ayrı durum oluşur, sonra her durumun içinde birkaç aşamalı seçim yapılır.

Böyle bir soruda her durum kendi içinde çarpılarak sayılır; birbirinden ayrık durumların sonuçları ise toplanır.

Bu nedenle “veya” görülen her yerde yalnızca basit toplama yapmak yetmeyebilir; önce her seçeneğin iç yapısı sayılır.

Benzer şekilde “ve” görülen her yerde de yalnız çarpma ezberi yeterli değildir; aşamaların gerçekten aynı sonucu tamamlayıp tamamlamadığı kontrol edilir.

Bazen soru, geçmiş konulardaki sayı yazma alışkanlığını permütasyonla birleştirir.

Kaç farklı üç basamaklı sayı yazılabileceği veya kaç farklı harf dizisi oluşturulabileceği sorulduğunda aslında yerleri doldurma işlemi yapılır.

Önce kullanılabilecek nesneler belirlenir, sonra yerlerin şartları okunur.

Her yer için seçenek sayısı yazıldığında uzun uzun tek tek saymaya gerek kalmaz.

Bu yöntem, saymayı hızlandırdığı gibi aynı durumu iki kez sayma veya bazı durumları unutma ihtimalini de azaltır.

Kombinasyon ve olasılık bu anlatımda ayrıntılı formül konusu olarak değil, sayma bilgisinin devamı olarak düşünülmelidir.

Sıra önemini kaybettiğinde seçim mantığı devreye girer; olasılıkta ise istenen durumlar ile tüm durumlar sayılır.

Fakat bu iki başlığa geçmeden önce permütasyon ve temel sayma kuralları oturmalıdır.

Çünkü yanlış sayılan toplam durum, olasılık oranını da yanlış yapar; sıralı bir durumu sırasız saymak da sonucu eksiltir.

Bu yüzden önce toplama mı çarpma mı, sonra sıra önemli mi, sonra tekrar veya özel kısıt var mı soruları cevaplanmalıdır.

Çözüm bittikten sonra küçük bir mantık kontrolü yapılmalıdır.

Tek bir nesne seçilen soruda çarpım çıkıyorsa, birden fazla parçadan oluşan sonuçta yalnız toplama yapıldıysa ya da farklılık şartına rağmen seçenek sayısı hiç azalmadıysa hata ihtimali yüksektir.

Permütasyon ve temel sayma sorularında işlem işaretleri, sorudaki bağlaçların ve şartların anlamından gelir.

Bu yüzden sonuçtan önce çözüm düzeni kontrol edilmelidir.

Sınavda pratik yol, soruyu küçük kararlara ayırmaktır.