Faktöriyel Konu Anlatımı

Faktöriyel, ardışık pozitif tam sayıların çarpımını kısa yazmaya yarayan gösterimdir. n! ifadesi, 1’den n’ye kadar bütün pozitif tam sayıların çarpımı anlamına gelir: n! = 1·2·3·...·n. Aynı ifade sondan geriye doğru n! = n·(n - 1)! ya da n! = n·(n - 1)·(n - 2)! biçiminde açılabilir.

Bu açılım, faktöriyel sorularında doğrudan hesap yapmaktan daha önemlidir; çünkü KPSS’de büyük sayıları çarpmak yerine ortak faktöriyel parçaları görüp sadeleştirmek beklenir.

Temel değerler mutlaka net bilinmelidir.

0! = 1 ve 1! = 1 kabul edilir.

2! = 2, 4! = 24, 5! = 120 ve 6! = 720 gibi küçük değerler hem kontrol hem de hızlı sadeleştirme için kullanılır.

Yalnızca 0! ve 1! tek sayıdır; 2! ve sonrasındaki her faktöriyel içinde 2 çarpanı bulunduğu için çifttir.

Ayrıca 5! ve daha büyük faktöriyellerin birler basamağı 0 olur, çünkü çarpımın içinde hem 2 hem 5 bulunduğundan en az bir 10 çarpanı oluşur.

Faktöriyel açma işlemi, büyük olanı küçük olana kadar indirme mantığıyla yapılır.

Örneğin 8! ifadesi 8·7! ya da 8·7·6! biçiminde yazılabilir.

Bir kesirde 10! ile 7! birlikte görünüyorsa 10! = 10·9·8·7! yazılıp 7! sadeleştirilir.

Böylece problem dev bir çarpım olmaktan çıkar, birkaç ardışık sayının oranına dönüşür.

Toplama ve çıkarma içeren ifadelerde de küçük faktöriyel ortak çarpan alınır; ancak faktöriyel toplamın içine dağıtılmaz.

(5! + 4!) gibi bir ifade, 4! ortak alınarak 4!

(5 + 1) biçiminde düşünülür.

Bilinmeyenli faktöriyel sorularında önce faktöriyelin içindeki değerin uygun olup olmadığı kontrol edilir.

Faktöriyel, sınav düzeyinde negatif tam sayılar için kullanılmaz; bu yüzden (n - 3)! gibi bir ifade varsa n değerinin buna izin vermesi gerekir.

Ardından açma yapılır.

(n + 1)!/(n - 1)! ifadesi, (n + 1)·n·(n - 1)!/(n - 1)! biçiminde sadeleşir.

Bu yöntem, denklemi sade bir çarpım denklemine indirir ve seçenekleri hızlı eleme olanağı verir.

Karşılaştırma sorularında da amaç tüm faktöriyelleri hesaplamak değildir.

10!·7!, 8!·9! ve 10·(8!)² gibi ifadeler karşılaştırılırken ortak parçalar aynı tabana çekilir.

10! = 10·9·8! ve 9! = 9·8! yazıldığında her ifade 8! üzerinden görülebilir.

Böylece sayıların büyüklüğü, ortak faktöriyel parçaları silindikten sonra kalan çarpanlara göre anlaşılır.

Bu yaklaşım hem zaman kazandırır hem de hesap hatasını azaltır.

Asal çarpan sorularında faktöriyelin içinde hangi asal sayıların ve kaç kez bulunduğu incelenir. n! sayısının en büyük asal çarpanı soruluyorsa, n’e kadar olan asal sayılar düşünülür; en büyük asal çarpanın 31 olması, n’in en az 31 olduğunu ama 31’den sonraki asal sayıya ulaşmadığını gösterir.

Bir faktöriyel içinde 3’ün, 5’in ya da başka bir asalın kuvveti aranıyorsa n sürekli o asala bölünür ve bölümler toplanır.

Örneğin 32! içinde 3 çarpanlarının sayısını bulmak için 32/3, 32/9 ve 32/27 bölümlerinin tam kısımları toplanır.

Bir faktöriyel ifadenin sonunda kaç tane sıfır olduğunu bulmanın temeli 10 çarpanlarını saymaktır.

10 = 2·5 olduğundan her sondaki sıfır için bir 2 ve bir 5 gerekir.

Faktöriyellerde 2 çarpanları 5 çarpanlarından daha bol olduğu için belirleyici olan 5 sayısıdır.

Bu nedenle n! sayısının sondaki sıfır sayısı, n’in 5’e, 25’e, 125’e ve gerekiyorsa daha büyük 5 kuvvetlerine bölünmesiyle elde edilen tam bölümlerin toplamıdır.

Örneğin 64! için 64/5 ve 64/25 tam bölümleri toplanır; 125’e ulaşılamadığı için işlem orada biter.

Sondaki sıfır kuralları işlem türüne göre dikkatli uygulanır. a!·b! çarpımında sondaki sıfır sayısı, a! ve b! için bulunan sıfır sayılarının toplamıdır. a!/b! biçiminde bir bölümde ise sadeleşme sonrası kalan aralığın çarpanları önemlidir; pratikte büyük faktöriyelin sıfır sayısından küçük faktöriyelin sıfır sayısı çıkarılarak başlanır.

(a!)^n biçiminde bir kuvvette a! içindeki sıfır sayısı n katına çıkar.

Çünkü aynı faktöriyel çarpanı n kez tekrarlanmış olur.

Toplam ve farklarda kural daha hassastır. a! ± b! biçiminde iki faktöriyel ardışık değilse, genellikle küçük faktöriyel ortak alınır ve sondaki sıfır sayısı küçük faktöriyelin oluşturduğu sıfırlara göre belirlenir.

Ardışık faktöriyellerde ise küçük faktöriyel parantezine alma zorunludur; çünkü parantez içindeki ek çarpan sıfır sayısını artırabilir veya artırmayabilir.

Örneğin 73! + 74! ifadesi 73!

(1 + 74) biçiminde yazılır.

Bu durumda 73!’ün sıfırları yanında parantez içindeki 75’in 5 çarpanları da kontrol edilmelidir.

Küçük faktöriyel değerleri işlem içinde üs veya parantezle birlikte geldiğinde önce faktöriyelin değeri, sonra dış işlem uygulanır.

Örneğin (3!)² ifadesinde önce 3! = 6 bulunur, sonra karesi alınır; buna karşılık 3²! gibi bir yazım farklı okunur ve faktöriyel işaretinin hangi sayıya ait olduğu dikkatle belirlenir.

Bu tür ayrımlar, özellikle birden fazla işlem sembolü bulunan sorularda sonucun tamamen değişmesine yol açar.

Sondaki basamak sorularında sıfır dışındaki rakamlar da aynı mantıkla yorumlanabilir.

Bir faktöriyel sayısının sonunda k tane sıfır varsa, o sayıdan 1 çıkarıldığında sondaki k basamak 9 olur; 2 çıkarıldığında uygun durumlarda sondaki basamakların 8’e dönmesi beklenir.

Bu sonuç, faktöriyelin 10^k ile bölünebilmesinden gelir.

Yine de her soruda önce kaç tane 10 çarpanı bulunduğu kesinleştirilmeli, sonra çıkarma veya toplama işleminin son basamaklara etkisi düşünülmelidir.

Faktöriyel konusundaki en yaygın hata, gösterimi sıradan bir kuvvet ya da parantez gibi davranıp yanlış işlem yapmaktır.

(a + b)! ile a! + b! aynı şey değildir; (n!)² ile (n²)! de aynı anlama gelmez.

Bu yüzden her soruda önce faktöriyel işaretinin hangi sayıya bağlı olduğu okunmalı, sonra uygun açılım seçilmelidir.

Büyük sayı görünce hesaplamaya başlamak yerine hangi küçük faktöriyelin ortak alınabileceği, hangi asal çarpanın sayılacağı veya hangi 5 kuvvetine kadar gidileceği belirlenmelidir.