Kümeler Konu Anlatımı

Küme, sınırları açık biçimde belirlenmiş nesneler topluluğudur.

Buradaki en önemli ölçüt, topluluğun iyi tanımlanmış olmasıdır.

Rakamlar, haftanın günleri veya belirli bir sınıftaki öğrenciler küme oluşturur; çünkü hangi elemanların dahil olduğu tartışmasızdır.

Buna karşılık güzel şehirler, zor sorular veya başarılı öğrenciler gibi ifadeler ölçüt belirtilmeden kişisel yoruma açık kalır.

Küme sorularında ilk hukuki çerçeve budur: üyelik kararı nesnel olmalıdır.

Bir nesne için kümeye aittir ya da ait değildir denebilmelidir.

Kümeler genellikle büyük harflerle adlandırılır ve elemanları farklı gösterimlerle yazılabilir.

Liste yönteminde elemanlar süslü parantez içinde tek tek verilir.

Ortak özellik yönteminde elemanların taşıdığı şart açıklanır.

Venn şemasında ise kümeler kapalı bölgelerle temsil edilir.

Gösterim değişse bile kümenin kendisi değişmez.

Elemanlar arasında sıra önemli değildir; aynı elemanı birden fazla yazmak yeni eleman oluşturmaz.

Bir kelimenin harflerinden küme yapılırken tekrar eden harflerin yalnız bir kez alınması bu nedenle önemlidir.

Eleman sayısı, farklı elemanların sayısını gösterir.

Boş küme, hiç elemanı olmayan kümedir.

Sıfır elemanlıdır fakat kendisi bir küme olarak düşünülür.

Boş küme ile içinde sıfır elemanı bulunan küme karıştırılmamalıdır; biri eleman içermez, diğeri tek eleman olarak sıfırı içerir.

Bu ayrım özellikle eleman sayısı ve alt küme sorularında belirleyicidir.

Evrensel küme ise üzerinde konuşulan bütün mümkün elemanları kapsayan üst çerçevedir.

Tümleyen işlemi ancak evrensel küme belirtildiğinde anlam kazanır; çünkü bir kümenin dışında kalanların hangi evren içinde aranacağı bilinmelidir.

Alt küme ilişkisi, bir kümenin her elemanının başka bir kümede de bulunmasıdır.

A kümesinin her elemanı B kümesinde yer alıyorsa A, B'nin alt kümesidir.

Eşit iki küme birbirinin alt kümesidir; öz alt kümede ise kapsayan kümede en az bir fazla eleman bulunur.

Boş küme her kümenin alt kümesidir, her küme de kendisinin alt kümesidir. n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2 üzeri n, öz alt küme sayısı ise bundan bir eksiktir.

Bu formül her eleman için “seçildi” veya “seçilmedi” kararının verilmesine dayanır.

Birleşim, verilen kümelerden en az birinde bulunan bütün elemanların oluşturduğu kümedir.

Kesişim, aynı anda her iki kümede bulunan ortak elemanları verir.

Fark işleminde sıra önemlidir; A fark B, A'da bulunup B'de bulunmayan elemanlardan oluşur.

B fark A ise farklı bir bölgeyi anlatır.

Tümleyen, evrensel kümede olup ilgili kümede bulunmayan elemanların kümesidir.

Bu işlemler Venn şeması üzerinde düşünüldüğünde daha net görünür: birleşim boyanan alanları genişletir, kesişim ortak merkeze daraltır, fark yalnız bir tarafa bırakır.

İki kümenin eleman sayısı sorularında temel düşünce, ortak elemanların iki kez sayılmasını önlemektir.

A ve B'nin eleman sayıları toplanınca kesişimdeki elemanlar iki kez sayılmış olur; bu yüzden ortak bölge bir kez çıkarılır.

Üç kümeli sorularda ise ikili kesişimler ve üçlü kesişim dikkatle yerleştirilmelidir.

En güvenli yol, Venn şemasının en ortak bölgesinden başlamaktır.

Önce üçlü kesişim yazılır, sonra ikili kesişimlerden yalnız o iki kümeye ait kalan parçalar bulunur, ardından yalnız bölgeler tamamlanır.

En son evrensel toplam ve dış bölge kontrol edilir.

Sözel küme problemleri çoğunlukla anket, kurs, spor, dil veya sınıflandırma bağlamında gelir. “En az biri”, “yalnız biri”, “ikisi de”, “hiçbiri” gibi ifadeler farklı bölgeleri gösterir.

En az biri birleşimdir; hiçbiri evrensel kümenin dışında kalan bölgedir; yalnız A, A fark B anlamına gelir.

İkisi de kesişimi, sadece biri ise iki yalnız bölgenin toplamını anlatır.

Bu ifadeleri formüle çevirmeden önce Venn üzerinde bölge adıyla düşünmek hatayı azaltır.

Soruda toplam kişi sayısı verilmişse dış bölgede kalanlar da evrensel toplamın parçasıdır.

Kümelerde sınav tuzakları genellikle dil ile sembol arasındaki geçiştedir. “Veya” ifadesi matematikte çoğu zaman kapsayıcı birleşimi anlatır; yani ortak olanlar dışlanmaz. “Ya yalnız biri” gibi özel bir vurgu varsa ortak bölge alınmaz.

Eleman ve alt küme kavramları da karıştırılır: bir nesne kümenin elemanı olabilir, bir küme başka bir kümenin alt kümesi olabilir.

Bir elemanı alt küme gibi, bir alt kümeyi eleman gibi okumak yanlış sonuç verir.

Çözüm sonunda bölgelerin toplamı evrensel toplamı vermeli, hiçbir bölge negatif çıkmamalı ve tekrar eden elemanlar yalnız bir kez sayılmalıdır.

Küme gösteriminde eleman sembolü ile kapsama sembolünün anlamı ayrı tutulmalıdır.

Bir sayı bir kümenin elemanı olabilir; fakat o sayı tek başına küme olarak yazılmadıkça alt küme sayılmaz.

Buna karşılık içinde o sayıyı barındıran tek elemanlı bir küme, başka bir kümenin alt kümesi olabilir.

Bu ayrım, süslü parantezin görevini doğru okumayı gerektirir.

Örneğin bir kümenin elemanları arasında başka kümeler de bulunabilir.

Böyle durumlarda parantezin içindeki nesnenin eleman mı yoksa alt küme adayı mı olduğu dikkatle belirlenmelidir.

Kümelerde eşitlik, iki kümenin aynı elemanlara sahip olmasıdır.

Yazılış sırasının değişmesi eşitliği bozmaz.

Aynı elemanın tekrar edilmesi de yeni bilgi üretmez.

Bu nedenle liste yönteminde önce tekrarlar ayıklanır, sonra eleman sayısı bulunur.

Ortak özellik yöntemiyle verilen kümelerde ise şartı sağlayan elemanlar evren içinde aranır.

Eğer evren doğal sayılar, tam sayılar veya belirli bir aralık olarak belirtilmişse liste buna göre değişir.

Evrensel küme belirtilmeden tümleyen sorusunu çözmeye çalışmak eksik bilgiyle işlem yapmak olur.

Alt küme sayısı sorularında her eleman için iki karar vardır: alınsın veya alınmasın.

Bu bağımsız kararlar çarpıldığında 2 üzeri n sonucu oluşur.

Belirli elemanların mutlaka bulunması istenirse o elemanlar artık serbest karar olmaktan çıkar; yalnız kalan elemanlar için seçim yapılır.

Belirli elemanların bulunmaması istenirse onlar dışarıda bırakılır ve yine kalanlar üzerinden sayılır.

En az bir elemanlı alt kümeler sorulursa boş küme çıkarılır.

Belirli sayıda elemanlı alt kümeler ise kombinasyon mantığıyla sayılır; çünkü seçilen elemanların sırası önemli değildir.

Venn şemasıyla problem çözerken alanların anlamı sözlü ifadelerle eşleştirilmelidir. “A veya B” birleşim bölgesidir ve ortak alanı da kapsar. “A ya da B'den yalnız biri” ortak alanı dışarıda bırakır. “A olmayanlar” evrensel kümede A'nın dışında kalan herkestir; bunun içinde B'ye ait olanlar da bulunabilir.