Sayı Kümeleri Konu Anlatımı

Sayı kümeleri, sayıların ortak özelliklerine göre ayrıldığı temel yapıdır.

Bu başlık, yalnız tanım ezberi değildir; bir soruda hangi değerin kabul edilebileceğini belirleyen sınırdır.

Matematikte rakam ve sayı ayrımıyla başlamak gerekir.

Rakamlar, onluk sistemde sayıları yazmak için kullanılan sembollerdir.

Sayı ise bir çokluğu, büyüklüğü veya değeri ifade eden yapıdır.

Bir basamaklı sayı tek bir rakamla yazılabilir; iki ya da daha çok basamaklı sayılar rakamların belirli basamak değerleriyle yan yana gelmesiyle oluşur.

Bu ayrım özellikle basamak sorularında önem kazanır, fakat sayı kümelerinin de başlangıç noktasıdır.

Sayma sayıları, nesneleri sayma ihtiyacından doğan pozitif tam değerlerdir ve 1’den başlar.

Doğal sayılar kümesi ise 0’ı da içine alır.

Bu nedenle her sayma sayısı doğal sayıdır, ancak 0 sayma sayısı değildir.

KPSS’de bu küçük ayrım çok sık sınav tuzağına dönüşür. “Doğal sayı” ifadesi geçen bir soruda 0 denenebilir; “pozitif tam sayı” veya “sayma sayısı” denmişse 0 dışarıda kalır.

Bir çözümde bulunan değer matematiksel olarak işlem sonucunu sağlasa bile, sorunun istediği kümeye ait değilse geçerli cevap kabul edilmez.

Tam sayılar kümesi doğal sayıların dışına negatif tam değerleri de ekler.

Pozitif tam sayılar 1, 2, 3 biçiminde ilerler; negatif tam sayılar -1, -2, -3 biçiminde geriye doğru gider; 0 ise işaretsizdir, pozitif ya da negatif değildir.

Bu çerçeve özellikle en büyük ve en küçük değer sorularında kullanılır.

En büyük negatif tam sayı -1’dir; çünkü negatifler içinde sıfıra en yakın olan odur.

Pozitif tam sayılarda en küçük değer 1’dir, fakat en büyük değer için üst sınır verilmemişse böyle bir sayı yoktur.

Aynı şekilde negatif tam sayılarda en büyük değer bilinirken en küçük değer sınırsız biçimde geriye gidebilir.

Rasyonel sayılar, paydası sıfır olmayan iki tam sayının oranı olarak yazılabilen sayılardır.

Tam sayılar da rasyoneldir; çünkü her tam sayı paydası 1 olan kesir biçiminde düşünülebilir.

Kesirler, devirli ondalıklar ve sonlu ondalık gösterimler rasyonel sayı alanına girer.

Buradaki en önemli koşul paydanın sıfır olmamasıdır.

Sıfıra bölme tanımsız olduğundan, rasyonel sayı tanımında payda için açık yasak bulunur.

Bu yasak işlem sorularında da geçerlidir; bir kesrin paydasını sıfır yapan değer çözüm kümesinden çıkarılır.

İrrasyonel sayılar, iki tam sayının oranı biçiminde yazılamayan sayılardır.

Ondalık gösterimleri sonsuz ve devirsiz ilerler.

Karekök, pi veya bazı özel sabitler bu kümede örnek olarak görülür; ancak görünüşe aldanmamak gerekir.

Kök içindeki sayı tam kare ise sonuç rasyonel olabilir.

Aynı şekilde ondalık gösterimin uzun olması tek başına irrasyonellik kanıtı değildir; devirli bir ondalık rasyonel sayıya çevrilebilir.

Bu nedenle bir sayının hangi kümeye ait olduğu biçiminden değil, tanıma uyup uymamasından anlaşılır.

Rasyonel ve irrasyonel sayılar birlikte reel, yani gerçek sayılar kümesini oluşturur.

KPSS genel yetenek düzeyinde sayı kümeleri çoğunlukla reel sayıların alt kümeleri içinde değerlendirilir.

Bu kapsama ilişkisi zincir gibi düşünülmelidir: doğal sayılar tam sayıların içindedir, tam sayılar rasyonel sayıların içindedir, rasyonel ve irrasyonel sayılar reel sayıların parçalarıdır.

Ancak ters yönde genelleme yapılamaz.

Her tam sayı rasyoneldir, fakat her rasyonel sayı tam sayı değildir.

Her doğal sayı tam sayıdır, fakat her tam sayı doğal sayı değildir.

Sayı kümeleri işlemlerde kapanış fikriyle de ilgilidir.

İki tam sayının toplamı ve çarpımı yine tam sayıdır, fakat bölümü her zaman tam sayı olmayabilir.

İki doğal sayının toplamı doğal sayı kalır, ancak farkı negatif çıkarsa doğal sayı kümesinden ayrılır.

Rasyonel sayılar toplama, çıkarma, çarpma ve sıfır olmayan sayıya bölmede kendi içinde kalır.

İrrasyonel sayılar için benzer kesinlik her işlemde söylenemez; iki irrasyonel sayının toplamı bazen rasyonel olabilir.

Bu yüzden işlem sonucu hakkında genelleme yapılırken kümenin hangi işlem altında kapalı olduğu bilinmelidir.

Bu konunun sınavdaki prosedürü açık olmalıdır.

Önce bilinmeyenin hangi kümeye ait olduğu okunur.

Sonra aralık, pozitiflik, negatiflik, farklılık veya tam sayı olma gibi ek koşullar işaretlenir.

Denklem çözülürken bulunan aday değerler bu koşullardan geçirilir.

Eğer seçenekli soruysa uygun olmayan kümelere ait değerler elenir.

Eğer en büyük ya da en küçük değer aranıyorsa kümenin başlangıç ve sınır bilgisi kullanılır.

Böylece sayı kümeleri, yalnız bir konu başlığı olmaktan çıkar ve temel kavramlar, denklem, problem, eşitsizlik ve sayısal mantık sorularında sürekli çalışan bir kontrol aracına dönüşür.

Pozitif ve negatif sayı ayrımı, sayı kümeleriyle birlikte okunmalıdır.

Sıfırdan büyük reel değerler pozitif, sıfırdan küçük reel değerler negatif kabul edilir.

Sıfır ise ne pozitif ne negatiftir.

Bu nedenle “negatif olmayan” ifadesi 0’ı ve pozitifleri kapsarken, “pozitif” ifadesi 0’ı dışarıda bırakır.

Aynı şekilde “pozitif tam sayı” ile “pozitif reel sayı” aynı alanı anlatmaz; biri yalnız tam değerleri, diğeri kesirli pozitif değerleri de kapsar.

Tek ve çift sayı bilgisi de tam sayılar içinde değerlendirilir.

İki ile tam bölünebilen tam sayılar çift, tam bölünemeyenler tek sayıdır.

Sıfır çift sayı kabul edilir; çünkü iki ile bölünebilir.

Toplama ve çarpma işlemlerinde tek-çift kuralları seçenekleri hızlı elemek için kullanılır.

Ancak bölme işleminde kesinlik her zaman yoktur; iki tek sayının bölümü tam sayı olmayabilir, iki çift sayının bölümü de bazen tek, bazen çift, bazen tanımsız olabilir.

Bu yüzden bölme sorularında sonucun tam sayı olup olmadığı ayrıca verilmedikçe acele genelleme yapılmamalıdır.

Sayı kümelerinde alt küme ilişkisi, çözüm kümesini genişletir veya daraltır. “x reel sayıdır” denildiğinde doğal, tam, rasyonel ve irrasyonel değerler teorik olarak gündeme gelebilir. “x tam sayıdır” denildiğinde kesirli ve irrasyonel değerler dışarıda kalır. “x doğal sayıdır” denildiğinde negatifler de elenir.

Bu daraltma işlemi sınavın yasal sınırı gibidir; aday kendi kolayına gelen değeri değil, metnin izin verdiği değeri kullanır.