Köklü Sayılar Konu Anlatımı

Köklü sayılar, bir sayının hangi kuvvetten geldiğini sormanın kısa yoludur.

Kök işaretinin küçük derece kısmı, hangi kuvvetin arandığını gösterir; kök içindeki ifade ise üzerinde işlem yapılan sayıdır.

Derece 2 olduğunda genellikle yazılmaz ve bu ifade karekök diye okunur.

Karekök 49 dendiğinde, karesi 49 olan sayı aranır.

Küpkök 27 dendiğinde ise küpü 27 olan sayı düşünülür.

Bu okuma alışkanlığı, işlemlere geçmeden önce sembolün ne istediğini anlamayı sağlar.

Derece, köklü ifadelerde işlemin yönünü belirleyen ana bilgidir.

Kareköklerde ikili kuvvetler, küpköklerde üçlü kuvvetler öne çıkar.

Kök içindeki sayı tam kare ise karekökten rahat çıkar; tam küp ise küpkökte rahat çıkar.

Daha yüksek derecelerde de aynı mantık sürer: derece kaçsa, kök içindeki çarpanlar o kadar kuvvetlik gruplar hâlinde aranır.

Bu nedenle köklü ifade görülür görülmez ilk soru, derecenin kaç olduğu ve kök içinde dışarı çıkabilecek uygun bir kuvvet bulunup bulunmadığıdır.

Kökten dışarı çıkarma, kök içini çarpanlara ayırarak yapılır.

Örneğin 32 gibi bir sayı karekök içinde verildiğinde 16 çarpı 2 olarak düşünülür; 16 tam kare olduğu için dışarı 4 olarak çıkar, 2 kök içinde kalır.

Benzer biçimde 75, 25 çarpı 3 biçiminde ayrılır; 25 dışarı 5 olarak çıkar ve kalan ifade kök 3 olur.

Bu işlem soruyu uzatmaz, tersine köklü ifadeleri karşılaştırmayı, toplamayı ve sadeleştirmeyi kolaylaştırır.

Kareköklerde tam kareleri tanımak hız kazandırır.

10’un karesi 100, 11’in karesi 121, 12’nin karesi 144, 13’ün karesi 169 ve 14’ün karesi 196 olduğunda, bu sayılar kök içinde görüldüğünde sonuç doğrudan yazılabilir.

Ondalık sayılarda da aynı düşünce kullanılabilir.

0,16 sayısı 16 bölü 100 gibi görülür; karekök alındığında 4 bölü 10, yani 0,4 elde edilir.

Virgülden sonraki basamak sayısı karekökte uygun biçimde azalır, fakat bu pratik ancak sayının gerçekten tam kare düzeninde olduğu durumlarda güvenlidir.

Aynı dereceli köklerde çarpma yapılırken kök içleri çarpılabilir.

Karekök 5 ile karekök 5 çarpılırsa tek kök içinde 25 oluşur ve sonuç 5 olur.

Aynı mantık küpköklerde de geçerlidir; dereceler aynıysa kök içindeki sayılar birlikte çarpılır ve ortak kök bir kez yazılır.

Buradaki şart derecelerin eşit olmasıdır.

Dereceler eşit değilse kök içlerini doğrudan birleştirmek doğru değildir; önce dereceleri uygun hâle getirmek gerekir ya da işlem başka bir yoldan ele alınır.

Bölme işlemi de aynı derece şartıyla yürür.

Aynı dereceli iki köklü ifade bölünürken kök içindeki sayılar bölünebilir; ancak paydanın sıfır olmaması unutulmaz.

Bir ifadenin başka bir köklü ifadenin kaç katı olduğu sorulursa, birinci ifade ikinci ifadeye bölünür.

Bölme kesre dönüştüğünde ters çevirip çarpma kullanılabilir ve aynı dereceli kökler tek kök altında toplanabilir.

Böylece kök 48 ile kök 8 gibi ifadelerde kök içleri oranlanarak daha sade bir sonuç elde edilir.

Toplama ve çıkarma, çarpma ve bölmeden farklıdır.

Kök içleri aynı derecede olsa bile toplamayı tek kök altında toplamak doğru değildir.

Kök 2 artı kök 3, kök 5 olmaz.

Toplama veya çıkarma yapabilmek için köklü ifadelerin benzer olması gerekir; yani kök derecesi ve kök içi aynı kalmalıdır.

Kök dışındaki katsayılar toplanır veya çıkarılır.

Bu yüzden işlemden önce kök içleri sadeleştirilir; farklı görünen ifadeler sadeleşince aynı köke dönüşebilir.

Benzer köklüleri tanımak için dışarı çıkarma işlemi mutlaka kontrol edilir.

Örneğin kök 75 ifadesi 5 kök 3 hâline gelir; başka bir terim de kök 3 içeriyorsa artık bu iki ifade benzer köklü olabilir.

Bu durumda kök kısmı korunur, yalnız katsayılarla işlem yapılır.

Eğer sadeleştirme sonunda kök içleri farklı kalıyorsa terimler yan yana bırakılır.

KPSS sorularında en sık hata, kök içleri farklı ifadeleri yalnızca ikisi de köklü diye toplamaktır.

Köklü ifadeler çarpma yönünde parçalanabilir.

Kök 6, kök 3 çarpı kök 2 biçiminde düşünülebilir; aynı şekilde kök 25 çarpı kök 4 tek kökte 100 yapar.

Bu çift yönlü bakış, bazen soruyu sadeleştirmek için, bazen de ortak çarpanları görmek için kullanılır.

Ancak bu parçalama çarpma ve bölme yapısında anlamlıdır.

Toplama ve çıkarma bulunan yerde kök içlerini bu kuralla rastgele birleştirmek veya ayırmak işlem hatasına yol açar.

Paydada köklü ifade bulunduğunda amaç çoğu zaman paydayı kökten kurtarmaktır.

Tek terimli bir köklü paydada pay ve payda uygun köklü ifadeyle çarpılır; böylece paydada tam kare veya uygun tam kuvvet oluşturulur.

İşlem yapılırken kesrin değeri değişmez, çünkü pay ve payda aynı ifadeyle çarpılır.

Paydanın sıfır olmaması koşulu korunur.

Bu adım özellikle seçeneklerde köksüz payda arandığında gereklidir.

Payda iki terimliyse eşlenik kullanılır.

Eşlenik, iki terimli ifadenin ortasındaki işaretin değiştirilmiş hâlidir.

Amaç, iki kare farkı düzeni kurarak köklü terimi paydadan kaldırmaktır.

Örneğin bir toplamın eşleniği aynı terimlerin farkı, bir farkın eşleniği aynı terimlerin toplamıdır.

Pay ve payda eşlenikle çarpıldığında paydada kareler farkı oluşur.

Bu yöntem, köklü ifadelerin rasyonelleştirilmesinde en verimli araçlardan biridir.

Köklü ifadeler üslü sayılarla da bağlantılıdır.

Bir kök, uygun koşullarda kesirli üs biçiminde yazılabilir; bu yüzden üslü sayılardaki çarpma ve bölme mantığı köklü işlemlerin arkasında da görülür.

Ancak bu bağlantı kuralları ezbere karıştırmak için değil, derece şartını anlamak için kullanılmalıdır.

Dereceler aynı olduğunda kök içlerinin birlikte işlem görmesi, üslü sayılardaki ortak üs fikrine benzer.

Derece farklı olduğunda aynı rahatlıkla işlem yapılamamasının nedeni de budur.

İşaret ve tanım koşulları köklü sayılarda son kontrolü oluşturur.

Çift dereceli köklerde gerçek sayılar içinde kök içinin negatif olmaması gerekir; bu nedenle değişkenli ifadelerde eşitsizlik koşulu yazılmalıdır.

Tek dereceli köklerde negatif kök içi mümkündür, çünkü negatif bir sayının tek kuvveti negatif olabilir.

Ayrıca paydada bulunan ifade sıfır olamaz.