Denklemler Konu Anlatımı

Denklem, iki ifadenin eşit olduğunu söyleyen ve çoğu zaman bilinmeyen içeren matematiksel cümledir.

Bilinmeyen harfle gösterilir; bu harf yerine yazıldığında eşitliği doğru yapan değerlere kök denir.

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemde bilinmeyenin en yüksek kuvveti 1'dir.

Bu tür denklemler düzenlenerek ax + b = 0 biçimine getirilebilir; burada a sıfırdan farklıysa tek çözüm vardır. a sıfır olduğunda ise denklem özel duruma döner ve sabitlerin durumuna göre ya her değer eşitliği sağlar ya da hiçbir değer sağlamaz.

Bu ayrım, denklem çözmenin yalnızca işlem değil aynı zamanda koşul okuma işi olduğunu gösterir.

Denklem çözümünde temel yasal çerçeve eşitliğin korunmasıdır.

Eşitliğin iki tarafına aynı sayı eklenebilir, iki taraftan aynı sayı çıkarılabilir, iki taraf aynı sıfırdan farklı sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir.

Terim karşı tarafa geçince işaret değiştirir denmesi bu işlemlerin pratik anlatımıdır.

Aslında yapılan şey, eşitliğin iki yanında aynı dönüşümü uygulamaktır.

Bu nedenle bilinmeyenli terimleri bir tarafta, sabit terimleri diğer tarafta toplarken her işaret dikkatle taşınmalıdır.

İşaret hatası, basit denklemlerde bile sonucu tamamen değiştirir.

Birinci dereceden denklemlerde prosedür genellikle parantezleri açmakla başlar.

Dağılma özelliği uygulanır, çarpanlar parantez içindeki her terime dağıtılır ve sonra benzer terimler birleştirilir.

Bilinmeyen içeren terimler bir tarafta, sayısal terimler öbür tarafta toplanır.

Son adımda bilinmeyenin katsayısı sıfırdan farklıysa iki taraf bu katsayıya bölünür.

Bulunan değer, başlangıçtaki denklemde yerine yazılarak kontrol edilebilir.

Bu kontrol özellikle uzun işlemlerde veya seçenekli sorularda yanlış aktarma hatalarını yakalar.

Kesirli denklemler ayrı dikkat gerektirir.

Paydalar yalnız sayı ise ortak payda alınarak kesirlerden kurtulmak mümkündür.

Her iki taraf ortak paydanın uygun katıyla çarpılır ve denklem sadeleşir.

Paydada bilinmeyen varsa işlemden önce bu paydaları sıfır yapan değerler çözüm kümesinden çıkarılır.

Çünkü denklem o değerlerde tanımlı değildir.

Daha sonra yapılan çarpma işlemi cebirsel olarak kök üretse bile, bulunan değer yasaklı değerse kabul edilmez.

Bu durum, kesirli denklemlerde çözüm sonu denetiminin neden zorunlu olduğunu açıklar.

Denklem sorularında bazı ifadeler doğrudan cebirsel biçime çevrilir.

Bir sayının üç fazlası, iki katının beş eksiği, yarısı, üçte biri, ardışık iki sayı veya çift sayı gibi sözler bilinmeyen seçimine göre yazılır.

Sözel problemde ilk adım bilinmeyeni tanımlamaktır.

Bilinmeyen x olsun demek yeterli değildir; x'in hangi miktarı temsil ettiği açık olmalıdır.

Yaş mı, sayı mı, ürün adedi mi, para miktarı mı, yol mu olduğu belirlenir.

Sonra verilen ilişki eşitlik haline getirilir.

Sorunun sorduğu değer x değil de x'in başka bir hali olabilir; çözüm sonunda metne geri dönmek gerekir.

Denklemlerde eşdeğer dönüşüm ile tanım koşulu ayrımı önemlidir.

Bir denklemin iki tarafını sıfırla çarpmak bilgi kaybettirir ve eşdeğer işlem değildir.

İki tarafı bilinmeyenli bir ifadeye bölmek de risklidir; çünkü bölünen ifade sıfır olabilir.

Böyle durumlarda önce çarpanlara ayırma yapılarak olası kökler ayrı incelenmelidir.

KPSS düzeyindeki temel denklemlerde bu risk çoğunlukla paydada bilinmeyen veya ortak çarpanı sadeleştirme sırasında ortaya çıkar.

Sadeleştirme işleminden önce hangi değerin dışlandığı yazılmazsa çözüm kümesi eksik veya fazla çıkabilir.

Mutlak değerli, köklü veya ikinci dereceye giden ifadeler bu başlığın sınırını genişletebilir; ancak temel denklem mantığı değişmez.

Mutlak değer varsa iç ifadenin pozitif ve negatif olabileceği durumlar ayrılır.

Kök varsa kök içinin tanımlı olması ve kare alma sonrası bulunan değerlerin kontrol edilmesi gerekir.

Birinci dereceden denklemler ise bu daha ileri başlıkların temelidir; çünkü her parça sonunda çoğu zaman doğrusal bir eşitlik çözülür.

Bu nedenle işaret, parantez ve payda disiplini erken kazanılmalıdır.

Denklem karşılaştırmalarında eşitlik ile özdeşlik karıştırılmamalıdır.

Denklem belirli değerler için doğru olabilir; özdeşlik ise değişkenin uygun bütün değerleri için doğrudur.

Çözüm sonunda 0 = 0 gibi her zaman doğru bir ifade kalıyorsa başlangıçtaki tanım koşulları dışındaki tüm değerler çözüm olabilir.

0 = 5 gibi imkansız bir ifade kalıyorsa çözüm yoktur.

Bu özel durumlar seçeneklerde boş küme, tüm gerçek sayılar veya belirli aralık dışı ifadelerle ölçülebilir.

Denklemin derecesi de çözüm beklentisini belirler.

Birinci dereceden denklemlerde bilinmeyen ikinci kuvvetle, kökle veya paydanın karmaşık yapısıyla baskın hale gelmez; temel hedef doğrusal yapıyı düzenlemektir.

Bir ifadede x kare gibi daha yüksek kuvvet varsa artık farklı yöntemler gerekebilir.

Fakat bazı sorularda parantezler açıldığında veya benzer terimler toplandığında yüksek kuvvetli görünen terimler birbirini yok eder ve denklem yine birinci dereceye iner.

Bu yüzden denklemin türüne karar vermek için ilk görünüşe değil, sadeleşmiş biçime bakmak gerekir.

Parametreli denklemler, katsayısı harfle verilen denklemlerdir ve temel koşul burada daha açık hale gelir. ax + b = 0 yapısında a'nın sıfır olup olmadığı bilinmeden tek kökten söz edilemez. a sıfır değilse çözüm vardır; a sıfır olursa denklem sabit eşitliğe dönüşür.

Bu durum, kaç çözümü vardır veya hangi değer için çözüm yoktur türündeki sorularda kullanılır.

Parametre, sıradan bilinmeyenle karıştırılmamalıdır.

Genellikle x çözülmesi gereken değişkendir, diğer harf ise denklemin davranışını belirleyen koşul değeridir.

Kontrol aşaması çözümün son güvenlik kapısıdır.

Bulunan değer ilk denklemde yerine konduğunda sol ve sağ taraf aynı çıkmalıdır.

Sözel problemlerde ayrıca değerin bağlama uygun olması gerekir; kişi sayısı negatif olamaz, parça sayısı kesirli olamaz veya yaş problemi geleceğe ya da geçmişe göre tutarlı olmalıdır.

Denklem cebirsel olarak bir değer üretmiş olsa bile, problem koşulu bu değeri reddedebilir.

Bu nedenle çözüm kümesi ile problem cevabı aynı şey olmayabilir.

Önce matematiksel kök bulunur, sonra bağlam ve soru köküyle uyumu denetlenir.

Birden fazla bilinmeyen görünse bile bazı sorular tek bilinmeyene indirgenebilir.

İki sayıdan biri diğerinin fazlası, katı veya kesri olarak verildiyse ikisi de aynı değişken cinsinden yazılır.