Çarpanlara Ayırma Konu Anlatımı

Çarpanlara ayırma, bir cebirsel ifadeyi değerini değiştirmeden çarpanların çarpımı halinde yazmaktır.

Bu işlem yalnız biçimsel bir dönüşüm değildir; denklem çözme, sadeleştirme, değer bulma ve seçenek eleme sorularında ifadeyi okunabilir hale getirir.

Toplam veya fark halinde duran terimler çoğu zaman gizli bir ortak yapıya sahiptir.

Çarpanlara ayırmanın ilk prosedürü bu ortak yapıyı aramaktır.

Her terimde aynı sayı, aynı değişken kuvveti ya da aynı parantez grubu varsa ortak çarpan dışarı alınır.

Parantez dışına alınan çarpanın en büyük ortak çarpan olması tercih edilir; eksik alınan ortak çarpan işlemi bitirmiş gibi gösterse de sonraki sadeleşmeyi kaçırabilir.

Parantez içine yazılan ifade, dışarıdaki çarpanla çarpıldığında başlangıçtaki bütün terimleri geri vermelidir.

Bu ters kontrol, işaret hatalarını erken yakalar.

Ortak çarpan görülmediğinde terim sayısı ve yapı incelenir.

İki terimli ifadelerde kare farkı sık kullanılan bir kapıdır.

Kare alınmış iki ifade arasında çıkarma varsa ifade, toplam ve fark çarpımı biçiminde yazılabilir.

Burada iki tarafın gerçekten kare olup olmadığı önemlidir; bir terimi kare sanmak bütün çözümü bozar.

Toplam halinde iki kare için aynı sade kalıp yoktur, bu nedenle kare farkı alışkanlığı her iki terimli ifadeye uygulanmaz.

Üç terimli ifadelerde tam kare olasılığına bakılır.

Birinci ve üçüncü terim kare, orta terim bu iki kökün iki katı ise toplamın veya farkın karesi vardır.

Orta terimin işareti, parantez içindeki işareti belirler.

Tam kare ifadelerin en küçük değerinin sıfır olması, değer arama sorularında ayrıca kullanılır.

Bir ifade kareler toplamı şeklinde sıfıra eşitlenmişse her kareli parçanın ayrı ayrı sıfır olması gerektiği sonucuna gidilebilir; fakat bu yorum reel sayılar bağlamında ve karelerin negatif olamayacağı bilgisiyle yapılır.

Gruplama yöntemi, dört veya daha fazla terimli ifadelerde devreye girer.

Terimler ikişerli ya da uygun parçalara ayrılır, her gruptan ortak çarpan alınır ve grupların aynı parantezi üretmesi beklenir.

Aynı parantez oluşuyorsa bu parantez ikinci kez ortak çarpan yapılır.

Aynı parantez çıkmıyorsa gruplama biçimi değiştirilir veya işaret düzeni yeniden okunur.

İki küp toplamı ve iki küp farkı gibi kalıplarda ise küp kökleri bulunur; toplam veya fark çarpanı ile kareli ara çarpan birlikte yazılır.

Küp kalıplarında işaret sırası karıştırılmaya açıktır: fark kalıbında ilk çarpan fark, toplam kalıbında ilk çarpan toplamdır; ikinci çarpandaki orta terimin işareti buna göre ters veya eksi olur.

İkinci dereceden ifadelerde toplam-çarpım düşüncesi kullanılır.

Katsayısı bir olan x kareli ifadede, çarpımları sabit terimi ve toplamları x'in katsayısını veren iki sayı aranır.

Bu iki sayı bulunduğunda ifade iki birinci dereceden çarpana ayrılır.

Baş katsayı bir değilse çarpraz çarpım mantığıyla orta terim elde edilmeye çalışılır.

Burada işaretler belirleyicidir.

Sabit terim pozitifse aranan iki sayı aynı işaretli, negatifse farklı işaretlidir.

Orta terimin işareti hangi sayının baskın olduğunu gösterir.

KPSS sorularında değişken yerine x kare eksi iki x gibi bir blok gelebilir; aday bu bloğu tek bir değişkenmiş gibi düşünerek önce ana kalıbı görmelidir.

Rasyonel ifadelerde çarpanlara ayırmanın hukuku daha katıdır.

Sadeleştirme, pay ve paydada çarpım halinde ortak çarpan bulunduğunda yapılabilir.

Toplama veya çıkarma halinde duran terimler tek tek silinmez.

Paydalar farklıysa önce paydaların ortak katı belirlenir, payda eşitlenir ve ancak ortaya çıkan pay veya payda çarpanlarına ayrıldıktan sonra ortak çarpanlar sadeleşir.

Paydanın sıfır olamayacağı da unutulmamalıdır; sadeleştirme yapılsa bile başlangıçta paydayı sıfır yapan değerler dışarıda kalır.

Bu nokta özellikle denklem ve eşitsizlik bağlantılı sorularda sınav tuzağıdır.

Adayın güvenli sırası şudur: ortak çarpanı ara, özdeşliği tanı, gerekiyorsa grupla, ikinci dereceden yapıyı ayır, rasyonel ifadede önce çarpım durumuna getir, sonra sadeleştir.

Sonucun doğru olup olmadığını anlamanın en pratik yolu, elde edilen çarpanları kısa yoldan açıp başlangıç ifadesinin yapısını geri görmektir.

Böyle çalışan biri kalıp ezberiyle değil, ifadenin iç düzenini okuyarak ilerler.

Özdeşliklerle çarpanlara ayırmada en önemli beceri ifadeyi açmadan tanımaktır.

Bir toplamın karesi görüldüğünde yalnız baş ve son terime bakmak yetmez; orta terim de iki kökün iki katı olmalıdır.

Orta terim eksikse veya katsayısı uymuyorsa ifade tam kare değildir.

Benzer şekilde iki kare farkında iki terim arasında mutlaka çıkarma bulunmalıdır.

Adaylar bazen A kare artı B kare ifadesini A artı B ve A eksi B çarpımı gibi yazar; bu hatalıdır.

İki kare toplamı ancak başka bilgilerle, örneğin toplamın veya farkın karesi üzerinden dönüştürülebilir.

Bu ayrım, özellikle seçeneklerde yanıltıcı çarpanların verildiği sorularda belirleyicidir.

Değer bulma sorularında çarpanlara ayırma çoğu zaman doğrudan hesaplamadan daha hızlıdır.

Büyük sayılarla verilen çarpımlar, iki kare farkı veya tam kare düzeni içinde okunabilir.

Birbirine yakın iki sayının çarpımı, ortalama etrafındaki farkların kare farkı olarak düşünülebilir.

Ondalıklı ifadelerde de aynı mantık geçerlidir; virgül yalnız sayının yazım biçimini değiştirir, özdeşlik yapısını değiştirmez.

Bir ifadenin karesi ile dört kat çarpım birlikte verilmişse toplamın veya farkın karesi aranabilir.

Böylece uzun çarpma yapmak yerine özdeşlik üzerinden sade bir sonuca ulaşılır.

Kesirli cebirsel ifadelerde tanım kümesi sessiz bir koşuldur.

Paydada x eksi 2 varsa x eşittir 2 başlangıçta dışlanır.

Sonradan x eksi 2 çarpanı sadeleşse bile bu dışlama ortadan kalkmaz; çünkü ilk ifade o değerde tanımsızdır.

Aynı nedenle eşitlik çözerken payda yok etme işlemi yapılırsa paydaları sıfır yapan değerler ayrıca kontrol edilmelidir.

Sadeleşmiş biçim sorularında seçenek doğru görünse de sorunun istediği yalnız cebirsel sade hal olabilir; tanım kümesi sorulmuyorsa ifade en sade biçimiyle yazılır, fakat çözüm bilincinde dışlanan değerler tutulur.

Çarpanlara ayırma, denklem çözümünde sıfır çarpan ilkesini kullanır.

Bir çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az biri sıfır olmalıdır.

Ancak bu ilke yalnız ifade gerçekten çarpım halindeyken uygulanır.

Toplam halindeki iki terimden birini sıfıra eşitlemek geçerli değildir.

Bu nedenle önce doğru çarpanlara ayırma yapılır, sonra her çarpan ayrı denklem olarak çözülür.