Doğal Sayılar Konu Anlatımı

Doğal sayılar, sıfırdan başlayıp birer artarak ilerleyen tam sayılardır.

Küme 0, 1, 2, 3 biçiminde devam eder ve üst sınırı yoktur.

Bu tanım basit görünür, fakat KPSS’de birçok temel kavram ve işlem becerisi sorusunun karar noktasıdır.

Doğal sayı denildiğinde negatifler, kesirler ve tam olmayan ondalıklar dışarıda kalır.

Sayma sayılarıyla arasındaki temel fark 0’dır.

Sayma sayıları 1’den başlarken doğal sayılar 0’ı da kapsar.

Bu nedenle her sayma sayısı doğal sayıdır, ancak 0 sayma sayısı değildir.

Doğal sayıların başlangıç elemanı 0 olduğu için “en küçük doğal sayı” sorulduğunda cevap 0’dır.

Buna karşılık en büyük doğal sayı yoktur; çünkü herhangi bir doğal sayıya 1 eklenerek daha büyük bir doğal sayı elde edilebilir.

Bu sınırsızlık, en büyük değer arayan sorularda üst sınır verilmeden cevap üretilemeyeceğini gösterir.

Bir problemde doğal sayılar için toplam, çarpım, basamak değeri veya sıralama koşulu verilmişse, aday değerler bu küme içinde denenmelidir.

Özellikle “a ve b doğal sayıdır” ifadesi, a ya da b’nin 0 olabileceği anlamına gelir.

Doğal sayılar toplama işleminde kapalıdır.

İki doğal sayının toplamı yine doğal sayıdır.

Çarpma işleminde de aynı durum geçerlidir; iki doğal sayının çarpımı doğal sayı olarak kalır.

Sıfır bu işlemlerde özel bir rol oynar.

Bir sayıya 0 eklemek sayıyı değiştirmez; bir sayıyı 0 ile çarpmak sonucu 0 yapar.

Bu yüzden en küçük çarpım sorularında 0 ihtimali çoğu zaman belirleyicidir.

Ancak soru “pozitif doğal sayı” veya “pozitif tam sayı” diyorsa 0 kullanılamaz.

Bu ayrım, doğal sayı başlığının en sık yoklanan sınav tuzağıdır.

Çıkarma işleminde doğal sayılar her zaman kendi içinde kalmaz.

Büyük bir doğal sayıdan küçük doğal sayı çıkarılırsa sonuç doğal sayıdır; fakat küçükten büyük çıkarılırsa negatif tam sayı elde edilir.

Örneğin doğal sayı koşulu taşıyan bir bilinmeyen için işlem sonucu negatif çıkıyorsa o değer elenir.

Bölme işleminde de kapanış kesin değildir.

Bir doğal sayı başka bir doğal sayıya tam bölünürse sonuç doğal sayı olabilir; fakat tam bölünmezse kesirli değer çıkar.

Ayrıca sıfıra bölme hiçbir sayı kümesinde tanımlı değildir.

Bu nedenle doğal sayı sorularında işlem yapmak yeterli değildir; işlemden sonra sonucun kümede kalıp kalmadığı kontrol edilmelidir.

Doğal sayılar basamak sistemiyle de yakından ilişkilidir.

Onluk sistemde sayılar rakamlarla yazılır ve rakamların bulunduğu basamak değeri sayının gerçek değerini belirler.

İki basamaklı bir doğal sayıda onlar basamağındaki rakam 0 olamaz; çünkü o durumda sayı iki basamaklı olmaz.

Fakat birler basamağında 0 bulunabilir.

Üç basamaklı sayılarda yüzler basamağı sıfır olamaz.

Bu tür sorularda doğal sayı olmak, rakamların serbestçe seçileceği anlamına gelmez; basamak sayısı ayrıca kısıt getirir. “Rakamları farklı” gibi ek koşullar varsa her rakam yalnız bir kez kullanılmalıdır.

Doğal sayı problemlerinde en az ve en çok değer ararken 0’ın izinli olup olmadığı işlem stratejisini değiştirir.

Toplamları sabit iki doğal sayının çarpımı en küçük olsun istenirse, 0 kullanılabiliyorsa çarpım 0 yapılabilir.

Aynı tür soru pozitif tam sayılarla verilirse en küçük çarpım 1 ile diğer sayının çarpımı üzerinden aranır.

Toplam sabitken en büyük çarpım için sayılar birbirine yakın seçilir; bu bilgi doğal sayılarda da çalışır, fakat sıfırın varlığı minimum değerlerde sonucu değiştirir.

Bu yüzden problem çözümünde önce küme, sonra amaç okunmalıdır.

Doğal sayı koşulu, denklem ve eşitsizliklerde de filtre görevi görür.

Bir denklemin cebirsel çözümü kesirli, negatif veya ondalıklı olabilir.

Bu değer denklemi sağlayabilir, ancak doğal sayı isteniyorsa geçerli kabul edilmez.

Eşitsizliklerde çözüm aralığı bulunduktan sonra aralıktaki doğal sayılar sayılır.

Aralık 0’ı içeriyorsa 0 dahil edilir; açık aralıkta uç değerler alınmaz.

Bu durum özellikle “kaç doğal sayı değeri vardır” sorularında önemlidir.

Adayın çözümü doğru bulup sayma aşamasında 0’ı unutması sık yapılan hatadır.

Doğal sayılar ile tam sayılar arasındaki ilişki de net tutulmalıdır.

Doğal sayılar tam sayıların bir alt kümesidir; fakat tam sayılar negatif değerleri de içerdiği için her tam sayı doğal sayı değildir.

Pozitif tam sayılar doğal sayıların 0 dışındaki bölümüdür.

Bu karşılaştırmalar seçenek elemede kullanılır.

Bir ifadede “x tam sayı” denmişse negatifler denenebilir; “x doğal sayı” denmişse negatifler elenir; “x pozitif tam sayı” denmişse 0 da elenir.

KPSS’de doğal sayılar konusu bu nedenle temel bir kavram olmanın yanında, sorunun izin verdiği değer alanını doğru okuma becerisidir.

Doğal sayıların işlem sorularındaki rolü çoğu zaman aday değer üretmektir.

Bir eşitlikte iki doğal sayının toplamı verildiğinde, değerler 0’dan başlayarak toplamı aşmayacak biçimde denenebilir.

Eğer farklı doğal sayılar denmişse aynı değer tekrar kullanılamaz.

Eğer pozitif doğal sayılar denmişse 0 başlangıç listesine alınmaz.

Bu küçük prosedür, özellikle en büyük veya en küçük çarpım sorularında sonucu değiştirir.

Toplamları sabit doğal sayılarda çarpımın en büyük olması için sayılar birbirine yakın seçilir.

Toplam 20 ise 10 ve 10 en dengeli ayrımdır; farklı olma şartı varsa 9 ve 11 gibi en yakın farklı değerler düşünülür.

Çarpımın en küçük olması istenirse doğal sayılarda 0 kullanmak mümkünse sonuç 0’a iner.

Pozitif tam sayılarda ise en küçük değer 1 olduğu için uç değerler 1 ve toplamın kalanıdır.

Bu karşılaştırma, doğal sayı ile pozitif tam sayı farkının işlem sonucuna nasıl yansıdığını gösterir.

Basamak problemlerinde doğal sayı kümesi tek başına yeterli koşul değildir.

İki basamaklı bir sayının onlar basamağı 1 ile 9 arasında olmalıdır; birler basamağı ise 0 olabilir.

Üç basamaklı sayıda yüzler basamağı 0 olamaz.

Rakamların toplamı, farkı veya çarpımı sorulduğunda bu basamak koşulu korunur.